行列式本質上是個反對稱n線性函式。n是空間的維數。

關鍵詞：反對稱，n線性，函式。

題主應該見過一種情景，比如3維空間裡，把3個點的座標（每個座標有3個分量）放進行列式。所以這是3元函式，不要把它看做9元函式，你的自變數是向量，這是研究向量空間的時候的主要角度。我估計題主可能還沒學到向量空間。沒事，往下看。或者學到向量空間以後再來看這個也行。

再解釋一下什麼叫n線性函式。就是指關於每一個向量都是線性的。函式f如果滿足：

f(x+y)=f(x)+f(y)，其中x和y都是向量。

f(ax)=af(x)，其中a是常數，x是向量。

那麼f是線性的。n線性函式就是對每個變數都是線性的n元函式。n線性函式算是最簡單的n元函數了。

再說說反對稱，就是交換兩個變數會導致函式值變成原來的相反數，俗稱添負號。行列式性質就有一條說，交換兩行/列，函式值加個負號。但你肯定會納悶說為什麼要這麼搞。接下來我就簡單解釋一下，不過有些證明就不證了。

我們希望這個n線性函式有一個性質：如果代入線性相關的n個線性函式，函式值一定是0。行列式其實有個很重要的用處是判斷n個向量是否線性相關。如果不知道什麼叫線性相關，建議還是等學到了再來看吧。

可以證明，一個n線性函式如果滿足這個性質這個性質，就一定是反對稱的。或者說，我們要的不是反對稱本身，而是這個性質。

線性相關的時候等於0了，但線性無關的時候呢？其實光有這幾條還不夠，例如規定行列式函式恆為0，也滿足這幾個條件。所以還得加條件。不太嚴格地說，規定單位行列式值為1就夠了。單位行列式就是主對角線全為1的對角行列式了。

有了這幾條，所有行列式都能算了。而且性質很好，滿足了前面的條件。

題主說的行列式的幾個用途，其實本質上都是這幾條性質：反對稱，n線性函式，再加上單位行列式等於1（這麼說不太嚴格但大致就是這個意思了）。有空再解釋一下為什麼本質上都是這幾條。