來說一個比較玄學的理解。
一個方陣的逆矩陣如果存在，的確是唯一的。從線性變換的意義上來說，其代表了一個給定的變換的逆變換，理應是唯一的，這是可以理解的；從矩陣代數的角度，也是可以證明的。樓上樓下都給出了很好的說明。這裡我再來補充一下：我認為在數學中存在一種“確定性原則”，即在提出一個數學的研究物件或概念的時候，要保證這種東西是唯一確定的（如果存在），這樣我們在研究的時候就只需要研究這一個物件即可。
例如如果不是方陣，而是長方形的矩陣，例如
我們考慮其“逆矩陣”，有兩種定義方法，一種是左逆，即矩陣 ，此處 是單位矩陣；或是右逆即 。以左逆為例，我們有許多左逆存在，例如
都是其左逆矩陣，那麼對於這種存在多個數學物件的時候，就說明我們的定義是不好的，因為我們如果要研究 的逆矩陣，就得研究一堆矩陣，而不是僅一個矩陣。因此從“確定性原則”的角度來講，在定義一個數學物件，例如逆矩陣的時候，就應該保證這個研究物件是唯一的，或至少是足夠簡潔的，以至於我們可以輕易地研究這一類物件；且我們所施加的條件不能太苛刻，以致使這種研究物件甚至都不存在。
事實上，這樣的例子有很多。例如統計學中，一個引數的無偏估計量(unbiased estimator)可能具有很多個，這是不易研究的，可以認為正是因此，我們才提出了最小均方誤差無偏估計量的概念，以使我們的研究物件是“唯一”的（當然我認為這個約束並不是很好，因為很多情況下這種估計量是不存在的）；其餘的例子還有很多，例如假設檢驗中，檢驗的水平與真實水平；測度論中，取Null Set的覆蓋序列中，長度最小的定義為Lebesgue Outer Measure；隨機矩陣理論中， -Net的Covering Number是取所有Nets 中，基數(cardinality)最小的記為Covering Number；集合 的convex hull/affine hull是包含 的最小convex set/affine set，等等……可見“最xx”這個條件是經常被選擇用來“確定化”一個數學研究物件的手段。這有點兒扯遠了，事實上在方陣的逆矩陣的定義中，不用透過這個“最xx”的手段，就可以確定矩陣的逆矩陣是唯一的。不過，就算逆矩陣不是唯一的，像這種如此重要的概念，數學家們也會修改定義 使這個逆矩陣是唯一的。
只是有感而發，寫一下自己對於其他數學概念的定義上的一些體會。
來說一個比較玄學的理解。
一個方陣的逆矩陣如果存在，的確是唯一的。從線性變換的意義上來說，其代表了一個給定的變換的逆變換，理應是唯一的，這是可以理解的；從矩陣代數的角度，也是可以證明的。樓上樓下都給出了很好的說明。這裡我再來補充一下：我認為在數學中存在一種“確定性原則”，即在提出一個數學的研究物件或概念的時候，要保證這種東西是唯一確定的（如果存在），這樣我們在研究的時候就只需要研究這一個物件即可。
例如如果不是方陣，而是長方形的矩陣，例如
我們考慮其“逆矩陣”，有兩種定義方法，一種是左逆，即矩陣 ，此處 是單位矩陣；或是右逆即 。以左逆為例，我們有許多左逆存在，例如
都是其左逆矩陣，那麼對於這種存在多個數學物件的時候，就說明我們的定義是不好的，因為我們如果要研究 的逆矩陣，就得研究一堆矩陣，而不是僅一個矩陣。因此從“確定性原則”的角度來講，在定義一個數學物件，例如逆矩陣的時候，就應該保證這個研究物件是唯一的，或至少是足夠簡潔的，以至於我們可以輕易地研究這一類物件；且我們所施加的條件不能太苛刻，以致使這種研究物件甚至都不存在。
事實上，這樣的例子有很多。例如統計學中，一個引數的無偏估計量(unbiased estimator)可能具有很多個，這是不易研究的，可以認為正是因此，我們才提出了最小均方誤差無偏估計量的概念，以使我們的研究物件是“唯一”的（當然我認為這個約束並不是很好，因為很多情況下這種估計量是不存在的）；其餘的例子還有很多，例如假設檢驗中，檢驗的水平與真實水平；測度論中，取Null Set的覆蓋序列中，長度最小的定義為Lebesgue Outer Measure；隨機矩陣理論中， -Net的Covering Number是取所有Nets 中，基數(cardinality)最小的記為Covering Number；集合 的convex hull/affine hull是包含 的最小convex set/affine set，等等……可見“最xx”這個條件是經常被選擇用來“確定化”一個數學研究物件的手段。這有點兒扯遠了，事實上在方陣的逆矩陣的定義中，不用透過這個“最xx”的手段，就可以確定矩陣的逆矩陣是唯一的。不過，就算逆矩陣不是唯一的，像這種如此重要的概念，數學家們也會修改定義 使這個逆矩陣是唯一的。
只是有感而發，寫一下自己對於其他數學概念的定義上的一些體會。