主問題：是否任意自然數都能被不相同的斐波那契數之和表示?
答案：是。
可以參考 Zeckendorf"s theorem。
該定理指出：任意正整數都可表示為一個或多個不同的斐波那契數之和。
即，對任意的正整數 ，存在正整數 ，且滿足 ，有：
表示第 個斐波那契數。
證明：數學歸納法。
求解：貪心演算法。
上面說的是存在性，其實 Zeckendorf"s theorem 還提出了唯一性：
任意正整數 的 Zeckendorf"s representation 都是唯一的。
概念解釋：如果幾個斐波那契數和為 ，且這些斐波那契數彼此不相鄰，那麼將這幾個數之和稱作 的 Zeckendorf"s representation。
唯一性的潛臺詞是：任意正整數不但可以表示成一個或多個斐波那契數之和，而且必定擁有一個 Zeckendorf"s representation。
附加題：怎樣的線性遞推數列能表示所有自然數？
補充：這句話含義有些模糊，題主是不是想表達：從一個數列取不同的數，其和能組成任意自然數（限定為正整數似乎更好），這樣的數列具備什麼樣的形式？
答案：這樣的數列需要滿足的形式非常簡單。
此類數列被稱為 complete sequence。
假如一個數列為 ，那麼只需滿足如下性質，該數列就是一個 complete sequence：
①
② 對任意正整數 ，有 ，其中
並且這兩個條件是充分必要的。
由上面兩個條件可以得到推論：
② 對任意正整數 ，有
即滿足這兩個性質的數列也是一個 complete sequence。
不過這個推論只是 complete sequence 的充分條件，而不是必要條件。數列 A203074 即為一個反例。
證明從略。
顯然斐波那契數列一定是一個 complete sequence。
Update： @靈劍 的答案給出了部分證明過程，我就不贅述了。
三個相鄰自然數的和，是中間的數的3倍，
所以，
中間的數是84÷3=28
這三個自然數分別是27，28，29
主問題：是否任意自然數都能被不相同的斐波那契數之和表示?
答案：是。
可以參考 Zeckendorf"s theorem。
該定理指出：任意正整數都可表示為一個或多個不同的斐波那契數之和。
即，對任意的正整數 ，存在正整數 ，且滿足 ，有：
表示第 個斐波那契數。
證明：數學歸納法。
求解：貪心演算法。
上面說的是存在性，其實 Zeckendorf"s theorem 還提出了唯一性：
任意正整數 的 Zeckendorf"s representation 都是唯一的。
概念解釋：如果幾個斐波那契數和為 ，且這些斐波那契數彼此不相鄰，那麼將這幾個數之和稱作 的 Zeckendorf"s representation。
唯一性的潛臺詞是：任意正整數不但可以表示成一個或多個斐波那契數之和，而且必定擁有一個 Zeckendorf"s representation。
附加題：怎樣的線性遞推數列能表示所有自然數？
補充：這句話含義有些模糊，題主是不是想表達：從一個數列取不同的數，其和能組成任意自然數（限定為正整數似乎更好），這樣的數列具備什麼樣的形式？
答案：這樣的數列需要滿足的形式非常簡單。
此類數列被稱為 complete sequence。
假如一個數列為 ，那麼只需滿足如下性質，該數列就是一個 complete sequence：
①
② 對任意正整數 ，有 ，其中
並且這兩個條件是充分必要的。
由上面兩個條件可以得到推論：
①
② 對任意正整數 ，有
即滿足這兩個性質的數列也是一個 complete sequence。
不過這個推論只是 complete sequence 的充分條件，而不是必要條件。數列 A203074 即為一個反例。
證明從略。
顯然斐波那契數列一定是一個 complete sequence。
Update： @靈劍 的答案給出了部分證明過程，我就不贅述了。