進入主題，原等式兩邊同乘8，再配方，整理後得到：（8y+3）³-（4x+3）²=2，過程我就不囉嗦了，親們可以自己動下筆。如果非要問我為什麼化成這個形式，我只能說，這漂亮啊，我跟她對上眼了。

我們將N³-M²=2跟（8y+3）³-（4x+3）²作對比，可以很容易發現，後者是前者的特殊狀況，具體地說，後者是前者滿足：N≥11且N mod 8=3,M≥7且M mod 4=3，的特殊情況，再多提一句，N mod 8=3不可能為完全平方數，因為完全平方數被4整除或被8除餘1。如果一般情況（即更廣的範圍內）證明了，特殊情況自然成立，而N³-M²=2的整數解，是一個經典的數論問題，用語言描述就是：26是唯一一個前一個是完全平方數，後一個是完全立方數的數。感興趣的朋友可以自己搜尋下。既然這樣了，索性把x³-y²=2（用什麼字母表示沒影響）的整數解這個問題分析下，這個問題解決了，所提的這個主題問題就解決了，先上兩張圖，看不懂沒關係：

千萬別看到“抄”字眼，就不讓我過審，現在也別推送，因為我找到了一種用高中知識完全能解決的方法，不需要裝懂了，只要你高中畢業，應該就能看懂，但最近比較忙，解題過程用mathtype也不是幾個小時能編輯完的，有時間了一定補上，希望補完整了能給個推送。

沒時間，就把思路講下。

x³-y²=2，首先x,y奇偶性必須相同，否則x³-y²為奇數，如果x,y都為偶數，則x³-y²為4的倍數，因此x,y都為奇數，再則x不能為完全平方數，否則令x=p²，則（p³+y）（p³-y）=2，左邊是4的倍數。

令x=（2p）²+2q+1，-p+1≤q≤p-1，這裡的x包含了經上段刪選的所有x。

再回到x³-y²=2，可以得到y∈[x^1.5-2/（x^1.5+√（x³-2）），x^1.5），稱之為區間①。只要證明在區間1中沒有整數就行。

x^1.5=（（2p）²+2q+1）^1.5，這不是整數，可以記為N+ε，其中N為不大於x^1.5的最大整數。只要證明ε>2/（x^1.5+√（x³-2）），就等價於N∉區間①，從而區間①中沒有整數。可以建構函式f（z）=（（2p）²+z）^1.5，在0點的泰勒展開，（（2p）²+2q+1）^1.5=f（2q+1），前兩項為整數，第三項帶有整數和小數，第四項為<1/2的小數，後面都是小數，並且快速下降。可以證明當q=0時，ε最小，其次q=-1時。ε取最小值時，是個接近3/（8p）的數，可以縮放下，ε>1/（4q），在q≥5時，ε取最小值時，ε>1/（4q）>2/（x^1.5+√（x³-2）），從而得證。