證明方法1.

設 系 ， 系 相對 系的速度為

初始條件為 時兩系原點重合

故在 系， 系的原點滿足方程 ，

故變換式要滿足 時

所以設變換為

由愛因斯坦相對性原理，逆變換滿足

為確定 ，引入光速不變原理，設 時從原點向 軸正向打出一束光

則根據光速不變有 ，

3式帶入2式，4式帶入1式，得到的兩個式子再相乘，得

，化簡得

1式帶入2式，整理得

故洛倫茲變換為

證明方法2.

光在 系轉播方程為 ，故有 恆成立

設 ，即 系的度規張量

顯然 系在 系的運動方程為

故 系中 繫世界線切矢的分量為 ，即

利用共動系時間基矢與世界線切矢平行，將

作為 共動系的時間基矢，其中 為非0常數

選正交共動系，空間基矢選擇與時間基矢正交的

所以度規張量在 系的分量為

同理

由於愛因斯坦相對性原理， 系的度規分量應該等於 系的度規分量

於是有 ，解得

觀察5式和6式，顯然協變分量

用度規升指標，得逆變分量 ，與證法1一致