a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）

=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）

a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²（a-b）+b（a²-b²）=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）

=（a-b）[a²+b（a+b）]=（a-b）（a²+ab+b²）

公式證明

⒈迭代法：

我們知道：

0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1）/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1）/2

2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1）（2N+1）/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同種方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。

取公式：（X+1）^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1

係數可由楊輝三角形來確定

那麼就得出：

（N+1）^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴

N^4-(N-1）^4=4(N-1）^3+6(N-1）^2+4(N-1）+1…………⑵

（N-1）^4-(N-2）^4=4(N-2）^3+6(N-2）^2+4(N-2）+1…………⑶

…………

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………（n)

於是⑴+⑵+⑶+……+(n）有

左邊=(N+1）^4-1

右邊=4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N