這兩個特徵都是源於凹性（生產函式的凹性和效用函式的凹性）。我簡單證明一下無差異曲線的形狀。設效用函式為 U(X, Y). 那麼在效用值為常數 U 時，無差異曲線的方程為 U(X, Y)=U. 由隱函式定理立即可得： (1)
其中 U1，U2 分別表示 U(X, Y) 對 X 和對 Y 的偏導數。這說明無差異曲線在 (X, Y) 空間裡是向下傾斜的。下面考察無差異曲線的凹凸性：
由多元函式求導法則很容易得出：
其中第一個等式利用了 Eq. (1) 的結果，第一個不等式來自於均值不等式，第二個不等式利用了 U(X, Y) 是凹函式： .
這就說明無差異曲線在 (X, Y) 空間裡是凸函式，即無差異曲線凸向原點。
另一種更直觀的方法是利用如下結論：當函式 U(X, Y) 是擬凹函式時，對任意給定的效用水平 U，上水平集｛(X, Y} | U(X, Y)>=U} 一定是凸集。同時注意到滿足 U(X, Y)>=U 的點 (X, Y) 都在無差異曲線 U(X, Y)=U 的右上方，所以無差異曲線在 (X, Y) 空間裡是凸向原點的。這個方法更簡明同時需要的條件更松，僅要求 U(X, Y) 是擬凹函式即可！
生產可能性邊界形狀的證明方法與上面證明思路相近，鑑於知乎編輯公式太麻煩就不寫了，樓主自己試著做一下吧。
這兩個特徵都是源於凹性（生產函式的凹性和效用函式的凹性）。我簡單證明一下無差異曲線的形狀。設效用函式為 U(X, Y). 那麼在效用值為常數 U 時，無差異曲線的方程為 U(X, Y)=U. 由隱函式定理立即可得： (1)
其中 U1，U2 分別表示 U(X, Y) 對 X 和對 Y 的偏導數。這說明無差異曲線在 (X, Y) 空間裡是向下傾斜的。下面考察無差異曲線的凹凸性：
由多元函式求導法則很容易得出：
其中第一個等式利用了 Eq. (1) 的結果，第一個不等式來自於均值不等式，第二個不等式利用了 U(X, Y) 是凹函式： .
這就說明無差異曲線在 (X, Y) 空間裡是凸函式，即無差異曲線凸向原點。
另一種更直觀的方法是利用如下結論：當函式 U(X, Y) 是擬凹函式時，對任意給定的效用水平 U，上水平集｛(X, Y} | U(X, Y)>=U} 一定是凸集。同時注意到滿足 U(X, Y)>=U 的點 (X, Y) 都在無差異曲線 U(X, Y)=U 的右上方，所以無差異曲線在 (X, Y) 空間裡是凸向原點的。這個方法更簡明同時需要的條件更松，僅要求 U(X, Y) 是擬凹函式即可！
生產可能性邊界形狀的證明方法與上面證明思路相近，鑑於知乎編輯公式太麻煩就不寫了，樓主自己試著做一下吧。