烏龜和人賽跑的問題，是著名的古希臘芝諾悖論之一。 整個推論過程好像附和邏輯，但結果卻與現實矛盾——人肯定會超過烏龜。 問題的關鍵在於正確理解極限。人的位移是10+1+1/10+…，烏龜的位移是1+1/10+1/100+…。在芝諾的年代，還沒有極限的概念，認為這樣加下去，和會無限增大——人永遠追不上烏龜。在牛頓、萊布尼茲等引入極限概念後，問題解決了。這兩個級數是收斂的！What do you think? 原題：人和烏龜相距10米，假如人的運動速度是10m/s,烏龜的運動速度為1m/s。 1.按照平時“追及問題”的處理方法，人當然能夠追到烏龜。 2.芝諾(Zeno)的演算法是這樣：要追上烏龜必須要經過烏龜出發的地方A，但當他追到這個地方的時候，烏龜又向前爬了一段距離,到了B點，他要追上烏龜又必須經過B點，但當他追到B點的時候，烏龜又爬到了C點。於是Zeno說：永遠追不上烏龜。 3.現在我們用Zeno的演算法，來算算看Zeno的結論是否正確： 人走的距離是：S=10+10*0.1+10*0.01+10*0.001+…， 運用無窮等比數列求和公式，S=10/(1-0.1)=100/9。 烏龜走的距離是：T=1+1*0.1+1*0.01+1*0.0001+…， 運用無窮等比數列求和公式，T=1/(1-0.1)=10/9。 S-T=10 正好是開始的距離。 所以，運用兩種演算法得出的結論是一樣的。人可以追上烏龜。 Zeno錯在哪裡呢？是在於“芝諾時”不可能度量阿基里斯追上烏龜後的現象。在芝諾時達到無限後，正常計時仍可以進行，只不過芝諾的“鍾”已經無法度量它們了。 這個悖論實際上是反映時空並不是無限可分的，運動也不是連續的。 簡單的說一句話：Zeno不會求無窮遞縮等比數列的和。
烏龜和人賽跑的問題，是著名的古希臘芝諾悖論之一。 整個推論過程好像附和邏輯，但結果卻與現實矛盾——人肯定會超過烏龜。 問題的關鍵在於正確理解極限。人的位移是10+1+1/10+…，烏龜的位移是1+1/10+1/100+…。在芝諾的年代，還沒有極限的概念，認為這樣加下去，和會無限增大——人永遠追不上烏龜。在牛頓、萊布尼茲等引入極限概念後，問題解決了。這兩個級數是收斂的！What do you think? 原題：人和烏龜相距10米，假如人的運動速度是10m/s,烏龜的運動速度為1m/s。 1.按照平時“追及問題”的處理方法，人當然能夠追到烏龜。 2.芝諾(Zeno)的演算法是這樣：要追上烏龜必須要經過烏龜出發的地方A，但當他追到這個地方的時候，烏龜又向前爬了一段距離,到了B點，他要追上烏龜又必須經過B點，但當他追到B點的時候，烏龜又爬到了C點。於是Zeno說：永遠追不上烏龜。 3.現在我們用Zeno的演算法，來算算看Zeno的結論是否正確： 人走的距離是：S=10+10*0.1+10*0.01+10*0.001+…， 運用無窮等比數列求和公式，S=10/(1-0.1)=100/9。 烏龜走的距離是：T=1+1*0.1+1*0.01+1*0.0001+…， 運用無窮等比數列求和公式，T=1/(1-0.1)=10/9。 S-T=10 正好是開始的距離。 所以，運用兩種演算法得出的結論是一樣的。人可以追上烏龜。 Zeno錯在哪裡呢？是在於“芝諾時”不可能度量阿基里斯追上烏龜後的現象。在芝諾時達到無限後，正常計時仍可以進行，只不過芝諾的“鍾”已經無法度量它們了。 這個悖論實際上是反映時空並不是無限可分的，運動也不是連續的。 簡單的說一句話：Zeno不會求無窮遞縮等比數列的和。