首先，這是個交錯級數，這點不能忽略。交錯級數的特點就是，奇數項是相同符號的，偶數項也是相同符號的，但是奇數項和偶數項的符號相反。既然，u2n-1-u2n收斂，假設u2n-1收斂，那麼可以證明出來u2n也收斂。也就是說奇數項組成的級數和偶數項組成的級數都是收斂的。因為，奇數項是相同符號；偶數項也是相同符號。所以，u2n-1收斂就可以得出|u2n-1|收斂，即奇數項的絕對值組成的級數也是收斂的。同理，偶數項的絕對值組成的級數也是收斂的。這樣，un的絕對值組成的級數就是收斂的。這和un是條件收斂矛盾，條件收斂，要求絕對值組成的級數不收斂。所以，u2n-1和u2n都必須是發散的。擴充套件資料正項級數代表著收斂性最簡單的情形。在這種情形，級數級數的部分和 sm=u1+u2+…+um隨著m單調增長，等價於級數的一般項un≥0(因此，有時也稱為非負項級數)。於是級數(∑un)收斂等價於部分和(sm)有界。項越小，部分和就越傾向於有界，因而正項級數有比較判別法：。同樣，每項比前項的比值較小，部分和也就增加較少而較傾向於有界，因此正項級數又有比值判別法。事實上，這都在於斷定un的大小數量級。
這個是條件收斂的定義，命題可以證明而定義是沒有辦法證明的，就比如你叫張三，大家見了你都叫你張三而無法從邏輯上證明你為什麼是張三一個道理.
首先，這是個交錯級數，這點不能忽略。交錯級數的特點就是，奇數項是相同符號的，偶數項也是相同符號的，但是奇數項和偶數項的符號相反。既然，u2n-1-u2n收斂，假設u2n-1收斂，那麼可以證明出來u2n也收斂。也就是說奇數項組成的級數和偶數項組成的級數都是收斂的。因為，奇數項是相同符號；偶數項也是相同符號。所以，u2n-1收斂就可以得出|u2n-1|收斂，即奇數項的絕對值組成的級數也是收斂的。同理，偶數項的絕對值組成的級數也是收斂的。這樣，un的絕對值組成的級數就是收斂的。這和un是條件收斂矛盾，條件收斂，要求絕對值組成的級數不收斂。所以，u2n-1和u2n都必須是發散的。擴充套件資料正項級數代表著收斂性最簡單的情形。在這種情形，級數級數的部分和 sm=u1+u2+…+um隨著m單調增長，等價於級數的一般項un≥0(因此，有時也稱為非負項級數)。於是級數(∑un)收斂等價於部分和(sm)有界。項越小，部分和就越傾向於有界，因而正項級數有比較判別法：。同樣，每項比前項的比值較小，部分和也就增加較少而較傾向於有界，因此正項級數又有比值判別法。事實上，這都在於斷定un的大小數量級。