這個問題是在問對於A⁻¹A=I，如果對A⁻¹進行有限次初等變換後(變成A⁻¹=A"⁻¹了)，還能有A"⁻¹A=I麼？是不是這個問題？
應該不行吧？
比如對於Ax=b
為了求x，一個辦法就是對A做初等變換，使得A演變成一個三角矩陣(假設為A")，以期最終可以獲得一個簡單的xₙ=bₙ的關係，然後以此為基礎，逐步求解出各個x分量。
對A做初等變換得到A"幹什麼用？我們就是要從Ax=b得到一個A"x=b"，使我們遇到前者時雖然不知道x是多少，但變成後者後，我們一眼就可以看出在x(x₁,x₂…xₙ)裡xₙ是多少，然後很容易地把x的每個分量都計算出來了。
但是，在做這個初等變換時，不僅A成了A"，b也成了b"，這樣才能保證對於Ax=b和A"x=b"這兩個式子，x是相同的，就是它們有相同的解。這也就是說，用A去左乘一個向量x得到b，用A"同樣去左乘這個向量x，得到的是b"，結果不同的。
現在回頭來扯A，矩陣A是啥？你可以把它看成是一串向量的組合，A(a₁,a₂…aₙ)，這裡aₙ是一個列向量，不是一個向量的分量。原來A⁻¹A展開就是(A⁻¹a₁,A⁻¹a₂+…+A⁻¹aₙ)=(b₁,b₂…bₙ)=I，也就是每一個bₙ都是一個單位向量。
最後，當你把A⁻¹變成A"⁻¹後，你得到A"⁻¹a₁=b"₁。b₁≠b"₁，b₁是一個單位向量，b"₁就不能是。這樣，A"⁻¹A≠I，A"⁻¹就不會是A的逆矩陣了。
這個問題是在問對於A⁻¹A=I，如果對A⁻¹進行有限次初等變換後(變成A⁻¹=A"⁻¹了)，還能有A"⁻¹A=I麼？是不是這個問題？
應該不行吧？
比如對於Ax=b
為了求x，一個辦法就是對A做初等變換，使得A演變成一個三角矩陣(假設為A")，以期最終可以獲得一個簡單的xₙ=bₙ的關係，然後以此為基礎，逐步求解出各個x分量。
對A做初等變換得到A"幹什麼用？我們就是要從Ax=b得到一個A"x=b"，使我們遇到前者時雖然不知道x是多少，但變成後者後，我們一眼就可以看出在x(x₁,x₂…xₙ)裡xₙ是多少，然後很容易地把x的每個分量都計算出來了。
但是，在做這個初等變換時，不僅A成了A"，b也成了b"，這樣才能保證對於Ax=b和A"x=b"這兩個式子，x是相同的，就是它們有相同的解。這也就是說，用A去左乘一個向量x得到b，用A"同樣去左乘這個向量x，得到的是b"，結果不同的。
現在回頭來扯A，矩陣A是啥？你可以把它看成是一串向量的組合，A(a₁,a₂…aₙ)，這裡aₙ是一個列向量，不是一個向量的分量。原來A⁻¹A展開就是(A⁻¹a₁,A⁻¹a₂+…+A⁻¹aₙ)=(b₁,b₂…bₙ)=I，也就是每一個bₙ都是一個單位向量。
最後，當你把A⁻¹變成A"⁻¹後，你得到A"⁻¹a₁=b"₁。b₁≠b"₁，b₁是一個單位向量，b"₁就不能是。這樣，A"⁻¹A≠I，A"⁻¹就不會是A的逆矩陣了。