問題：

在一個無限大的平面中，有四個不停行走的小人投影甲乙丙丁。每人速率恆定但不見得相同，四人行跡分別維持在四條兩兩不平行的直線上。

這天，甲走著走著撞上了乙。由於他們只是投影，所以馬上互相穿過，各自的速率與行跡都不改變。而後，甲又撞上了丙。已知在此之前，甲未曾與丁相撞。

又知，乙與丙在跟甲相撞前均與其他兩人撞過（乙丙丁兩兩相撞過），但乙丙丁不是同時相撞的。

請證明：甲會與丁相撞。

————————可以先自己思考下噢————————

這個問題本身也不是很難，但是證法可以很巧妙。

巧證一：

建立三維座標系Oxyt，點(x,y,t)表示在t時刻處在(x,y)處。則四人行跡在座標系下是四條兩兩不平行的直線，兩直線在t=t0處相交代表兩人在t0時刻相撞。

由於乙丙、乙丁、丙丁相撞過，故直線乙丙相交，乙丁相交，丙丁相交，且三個交點不同，於是乙丙丁共面。

又因為甲乙、甲丙、丙丁相撞過，同理甲乙丙共面。

於是直線甲乙丙丁共面，而甲丁不平行，必存在交點，也就是說，甲丁必相撞。

【這個解法與一維上的汽車追逐相撞問題影象解法異曲同工，但是高一個維度，卻難以想到。】

巧證二：

以乙為參考系。另外三人的行跡線是三條直線。

丙、丁與乙相撞過，所以他們的行跡與乙點相交，又因為丙丁在另外的點相撞過，即兩線交於除乙外的另一點，於是丙丁行跡線重合。

甲、丙與乙相撞過，而甲丙在另外的點相撞過，同理，甲丙行跡線重合。

於是甲丙丁行跡線重合。

顯然，除非甲丁速度相同，否則甲丁必定相撞（如果甲丁速度反向而相互遠離，或者速度同向而快者在慢者前方，則逆推可得在過去甲丁相撞過，違反了題設，所以這是不可能的）。

但是他們在乙參考系下不可能速度相同，否則原行跡必定平行（原速度=乙參考系下速度+乙原速度，若乙參考系下速度相同，則原速度相同，也即運動方向相同）。

因此，甲丁必定相撞。

【這個證法用的相對思想很巧妙，雖然敘述上看起來可能不是很簡單，但是理解後會發現是一種極其簡單的證法，其實只有一句話：在乙參考系下，另外三人行跡共線。】

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更新：

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感覺有點點跑題……

這個問題我是從巧妙的數學證明過來的，當時想到了這個問題的巧解，然而似乎又不適合在數學裡面答……

順便推一下在巧妙數學證明下的回答（雖然挺老套的）