當x在實數範圍內可以考慮使用反函式

過程如圖，這樣同時也限制了，當x以及f(x)為實數時，x一定大於或等於1

再，當考慮x在整個複數範圍內時，可以證明x=i不可取。

設f(x) = y

則f(y) = x²+1

f(f(y)) = y²+1

所以f(x²+1) = f²(x) + 1––––①

f(1) = f²(0) + 1––––②

帶入x=i if’（0）= f（i）f’（i） （此處存疑） ––––④

設f（0）=0 由②可得f（1）= 1

f（f（1）） = 2與題設不符合

所以f（0）不等於0

所以f’(0) = 0

所以④式改寫為f(i)f’(i)=0

f（i）= 0

∵f（f（i）） = 0

且f（0）不等於0

∴f（i）不等於0

∴f’（i）等於0

但是對原式求導後

f’（f（x））f’（x）=2x

x=i時

f’（f（i））f’（i） = 2i

會有2i=0

顯然矛盾

但是上面有一處是存疑的

––––––分割線––––––

已經有大佬指出來，函式不一定存在反函式

函式存在反函式的充要條件是，函式的定義域與值域是一一對映

這個要用到高等數學，先二邊取對數，然後再二邊求導

lny=xln(1-1/2x),二邊求導，注意左邊是複合函式

1/y(dy/dx)=-0.5x{1/(1-1/2x)}+ln(1-1/2x)

dy/dx=-0.5xy{1/(1-1/2x)}+yln(1-1/2x)，把y=(1-1/2x)^x帶入就可以了

最後的結果應該是dy/dx=-0.5x(1-1/2x)^x{1/(1-1/2x)}+(1-1/2x)^xln(1-1/2x)