函式項級數與函式列的關係可類比數項級數與數列的關係.函式項級數可以視為函式列的特例, 對應"級數部分和"這個函式列.反過來, 對任意函式列, 存在唯一的函式項級數, 使函式列為級數的部分和.因此二者在本質上是一樣的.函式列(或函式項級數)有很多種收斂的概念, 比較基本的是逐點收斂: 即在任意x處收斂.但是逐點收斂難以保持函式的性質, 例如[0,1]上的連續函式列x^n就逐點收斂到一個不連續的函式.為此要考慮所謂的一致收斂, 大意是不但在每個x處都收斂, 而且收斂的速度還是一致的.嚴格的說就是對任意ε > 0, 存在N, 使|fn(x)-f(x)| N和x成立.這裡一個N同時控制了所有x處的收斂性, 即所謂一致.對比一下逐點收斂: 對任意ε > 0與x, 存在N, 使|fn(x)-f(x)| N成立.這裡的N是根據ε和x取的, 是可能隨x不同而不同的.所以問題不在於函式列和函式項級數的區別, 而是一致收斂的概念.(1) 易見對0 ≤ x

1.沒有不同。函式項級數的部分和就是函式序列。函式項級數一致收斂就是指部分和序列作為函式序列一致收斂2. 沒看明白你是什麼意思。因為兩個概念都是一樣的。在討論一致收斂性的概念時，最重要的是明確是哪個區間上討論。同樣的函式序列，在不同的區間上，是否一致收斂的情況不一樣。第一例：說的不嚴謹。沒有說在某一點處不一致收斂的說法。只能說，fn(x)在區間[0,1]上不一致收斂。又注意到，對於任意的a= 2*n^{5/2}*|x|，所以|an(x)|