1.首先，判斷無窮級數tan[1/(n*n)]是正項級數還是交錯級數，如圖所示，根據三角函式tanx的性質及1/(n*n)的取值區間可知：無窮級數tan[1/(n*n)]是正項級數。

2.對於正項級數，是不存在條件收斂的情況的，所以，只需判斷無窮級數tan[1/(n*n)]是絕對收斂的還是發散的。

3.根據達朗貝爾判別法（也稱比值審斂法），需要判斷當n趨向於無窮大時，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]的比值是否小於1。

4.考慮到當n趨向於無窮大時，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]都是無窮小量，根據泰勒公式以及等價無窮小相關知識（x~tanx）可作如圖所示化簡。

5.於是，我們得到當n趨向於無窮大時，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]的比值是小於1的。

6.返回再看達朗貝爾判別法，可以得出結論：無窮級數tan[1/(n*n)]是絕對收斂的。

1、首先，判斷無窮級數tan是正項級數還是交錯級數，如圖所示，根據三角函式tanx的性質及1/(n*n)的取值區間可知：無窮級數tan是正項級數。

2、對於正項級數，是不存在條件收斂的情況的，所以，只需判斷無窮級數tan是絕對收斂的還是發散的。

3、根據達朗貝爾判別法（也稱比值審斂法），需要判斷當n趨向於無窮大時，tan{1/}和tan的比值是否小於1。

4、考慮到當n趨向於無窮大時，tan{1/}和tan都是無窮小量，根據泰勒公式以及等價無窮小相關知識（x~tanx）可作如圖所示化簡。

5、返回再看達朗貝爾判別法，可以得出結論：無窮級數tan是絕對收斂的。