"特徵向量"是針對某個矩陣而言的，對於某個矩陣A，由於它本身的構造(哪些向量是它的列向量，以及這些向量的先後順序)，就導致了出現了這樣的情況，既在某個特定方向上，如果你取了一個向量x(x與該方向同向)，則你透過y=Ax計算得到的y與x是共線的(同向或反向)，而y與x的比值為λ，就有y=Ax=λx，取後半截，就有Ax=λx。

所有在這個特定方向(一條線上)上的x，都叫對應這個λ值的特徵向量(無限多)，因為在這個方向上，無論x如何取值(方向與特定方向一致)，由Ax得到的y都在這條線上，且這個y與x的比值總是為λ，λ就被稱為特徵值了。如果特徵值λ是正的，y與x就同向，如果λ是負值，y就與x反向，但y與x總是共線的。

很多人在理解Ax=λx時更多注意到了A與λ在計算上的數值等效性，但更關鍵的，也就是 特徵向量之所以"特"的地方是y=λx，就是y與x在一條線上。"特"的核心是方向一致，而不是模長的比值為某個特定的數值。其實y與x的模長比一直存在的，但這個比值一般來說沒有意義(y與x不同向，不共線)，只有當兩個向量同向(共線)時，它們的模長才比的有意義(你可以用λ乘x求出y來，若y與x不共線，你就不能用y與x的模長比從x求出y了)。

從計算上講，因為有了Ax=λx，在這個方向上要求y，你就不需要透過矩陣A左乘x來得到y了，那樣好麻煩的，你直接把x乘上λ就可以了，就回到小學乘法運算了。

所以，若把問題改一改，問：任何非零向量是否可以是某個矩陣的特徵向量？答案應該是可以，即無論對哪個非零向量x，你總能找到一個A，使Ax=λx。