分佈收斂(convergence in distribution):定義：依分佈收斂至X，記作，意味著：，對於所有F的連續點x。也就是說，當n很大的時候，的累積函式和X的累積函式差不多。直觀上而言，依分佈收斂只在乎隨機變數的分佈，而不在乎他們之間的相互關係。舉例而言，倘若已知，假設。對於任意一個發生的事件，Y與X的取值正好差了一個負號。但這並不影響X與Y有相同的累積函式，即。如此一來，。更一般的情況而言，只要X與Y有相同的累計函式，即same distributed，即使，也有。因為依分佈收斂僅僅在乎分佈，而不在乎相互之間的關係。機率收斂(convergence in probability):定義：依機率收斂至X，記作，意味著：，當，。也就是說，當n很大的時候，對任意發生的事件，的值和X的值差不多，即很小。直觀上而言，依機率收斂在乎的是隨機變數的值。這樣說來，前面依分佈收斂的例子如果套在機率收斂上就會出現問題。如果，但對於任何一個與X分佈一樣的Y，但，一定不成立，因為X與Y只是分佈相同，而值不同。但反而言之，如果，即它們的值都差不多了，那麼它們的分佈一定也差不多，即。因此，依機率收斂比依分佈收斂要強，即。但在某種情況下，取值就可以確定分佈。即X取某個常數的情況下。此時X的取值和X的分佈唯一確定。即此時會有依分佈收斂和依機率收斂等價，即。Lp收斂(convergence in Lp):定義：依Lp收斂至X，記作，意味著：，當，。在p＝2時即為均方收斂。直觀上而言，均方收斂在乎的也是隨機變數的值，但其要求比依機率收斂更加嚴格。之所以更加嚴格，是因為機率測度可以被均方測度所限制，其思想可以近似由Chebyshev不等式看到。。因此.幾乎處處收斂(convergence almost surely):定義：幾乎處處收斂至X，記作，意味著：，當。直觀上而言，幾乎處處收斂在乎的也是隨機變數的值，但其要求也比依機率收斂更加嚴格。如果沒有接觸過實變函式的知識，幾乎處處收斂對於連續型隨機變數可能比較難以理解。我們這邊用離散型隨機變數進行直觀解釋，以避免0測度下的一些問題。對於，即以機率取1，其餘為0的隨機變數。其依機率收斂到1意味著，和1的值都差不多，而且隨著n越來越大，不相等的機率越來越小。轉而言之，出現0的機率越來越小，極限為0。但幾乎處處收斂至1要求，存在N，時，，即和1的值都在n很大時必須相等，即取0的機率在某個N後必須為0。前者限制其尾部機率收斂至0，但後者限制尾部機率為0。結論：(1)幾乎處處收斂和Lp收斂最強，依機率收斂其次，依分佈收斂最弱。(2)幾乎處處收斂和Lp收斂並無推導關係。(3)在收斂到常數時，依機率收斂和依分佈收斂等價。題外話：在我學機率的時間裡，其實我只用到過最弱的收斂，依分佈收斂。感覺很多定理，如：大數定理(LLN)和中心極限定理(CLT)都只用到它。但或許是我只是一個小碩，這些東西並不完全弄得明白。所以還希望各位不吝賜教。(ง •̀_•́)ง
注：本答案僅提供本人對各種收斂的直觀理解，以便讀者更直觀地瞭解各種收斂的聯絡。如果想了解更理論的部分，強烈推薦Yang的答案。
分佈收斂(convergence in distribution):定義：依分佈收斂至X，記作，意味著：，對於所有F的連續點x。也就是說，當n很大的時候，的累積函式和X的累積函式差不多。直觀上而言，依分佈收斂只在乎隨機變數的分佈，而不在乎他們之間的相互關係。舉例而言，倘若已知，假設。對於任意一個發生的事件，Y與X的取值正好差了一個負號。但這並不影響X與Y有相同的累積函式，即。如此一來，。更一般的情況而言，只要X與Y有相同的累計函式，即same distributed，即使，也有。因為依分佈收斂僅僅在乎分佈，而不在乎相互之間的關係。機率收斂(convergence in probability):定義：依機率收斂至X，記作，意味著：，當，。也就是說，當n很大的時候，對任意發生的事件，的值和X的值差不多，即很小。直觀上而言，依機率收斂在乎的是隨機變數的值。這樣說來，前面依分佈收斂的例子如果套在機率收斂上就會出現問題。如果，但對於任何一個與X分佈一樣的Y，但，一定不成立，因為X與Y只是分佈相同，而值不同。但反而言之，如果，即它們的值都差不多了，那麼它們的分佈一定也差不多，即。因此，依機率收斂比依分佈收斂要強，即。但在某種情況下，取值就可以確定分佈。即X取某個常數的情況下。此時X的取值和X的分佈唯一確定。即此時會有依分佈收斂和依機率收斂等價，即。Lp收斂(convergence in Lp):定義：依Lp收斂至X，記作，意味著：，當，。在p＝2時即為均方收斂。直觀上而言，均方收斂在乎的也是隨機變數的值，但其要求比依機率收斂更加嚴格。之所以更加嚴格，是因為機率測度可以被均方測度所限制，其思想可以近似由Chebyshev不等式看到。。因此.幾乎處處收斂(convergence almost surely):定義：幾乎處處收斂至X，記作，意味著：，當。直觀上而言，幾乎處處收斂在乎的也是隨機變數的值，但其要求也比依機率收斂更加嚴格。如果沒有接觸過實變函式的知識，幾乎處處收斂對於連續型隨機變數可能比較難以理解。我們這邊用離散型隨機變數進行直觀解釋，以避免0測度下的一些問題。對於，即以機率取1，其餘為0的隨機變數。其依機率收斂到1意味著，和1的值都差不多，而且隨著n越來越大，不相等的機率越來越小。轉而言之，出現0的機率越來越小，極限為0。但幾乎處處收斂至1要求，存在N，時，，即和1的值都在n很大時必須相等，即取0的機率在某個N後必須為0。前者限制其尾部機率收斂至0，但後者限制尾部機率為0。結論：(1)幾乎處處收斂和Lp收斂最強，依機率收斂其次，依分佈收斂最弱。(2)幾乎處處收斂和Lp收斂並無推導關係。(3)在收斂到常數時，依機率收斂和依分佈收斂等價。題外話：在我學機率的時間裡，其實我只用到過最弱的收斂，依分佈收斂。感覺很多定理，如：大數定理(LLN)和中心極限定理(CLT)都只用到它。但或許是我只是一個小碩，這些東西並不完全弄得明白。所以還希望各位不吝賜教。(ง •̀_•́)ง