我解釋一下在模糊數學理論中，一堆沙子如何描述；模糊數學是一門將定性問題轉化為定量描述的科學，對於這個問題，‘一堆’是定性描述，沙子的顆粒數是定量描述。我們先來考慮純定量的描述，這時假設評判只基於一個標準：沙子顆粒數大於等於10算作一堆沙子，那我們實際上是定義出了兩個集合：集合A{沙子數大於等於10}，集合B{沙子數小於10}。在判斷時，只需要判斷目標是屬於哪個集合即可，簡單明瞭，但是當沙子數為9，你說它不是一堆，只是因為創世神定義的時候沒定義，一大票沙子表示不服，於是模糊數學的概念應用而生；在模糊描述中，我們不只設定一個評判標準，考慮最簡單的情況，我們會定義兩個集合，集合A{a|一堆沙子}，集合B{b|幾粒沙子}，當沙子數為9時，我們可以說目標屬於集合A的程度為0.4，目標屬於集合B的程度為0.6，這裡的0.4與0.6決定於模糊隸屬度函式，視實際需要而不同（這裡的模糊隸屬度只是例子，並不嚴密）；單個的模糊隸屬度函式可以簡單理解為一個 一 一 對映，它就像一個裁判員，職責是判定每個目標變數的得分，這個得分就是模糊隸屬度。在最簡單的情況中，模糊隸屬度函式是一個二值函式，只輸出0，1兩個結果，如果實際問題比較複雜，莫比斯那樣的模糊隸屬度函式也是有可能的。評論中我提到了一種介乎於中間的情形，在那個背景中，就可能產生上面我舉的模糊隸屬度0.4與0.6的情況。（上圖可以表示一個模糊隸屬度函式集，函式集中的每一個函式可以表示這個圖的一部分）在定義好模糊隸屬度函式後，就進入到模糊推理階段（輸出最後的判斷）。還是考慮最簡單的情況，只有一個模糊隸屬度函式，那麼這實際上就是上文提到的普通數學定義法（普通數學被稱為模糊數學的一個特例），如果有兩個或兩個以上的模糊隸屬度函式（一個自變數會對映到兩個或兩個以上的模糊隸屬度），還是考慮簡單例子，在上文中，9粒沙子屬於一堆沙子的程度為0.4(a=0.4)，屬於幾粒沙子的程度為0.6(b=0.6)，綜合考慮，我們認為9粒沙子不是一堆沙子（定性判斷），這個綜合考慮的過程被稱為模糊推理（IF--THEN），具體的演算法有很多，我在這裡舉一個簡單例子：if a<0.5且b<0.5無法判斷；elseif a<0.5且b>0.5幾粒沙子；elseif a>0.5且b>0.5無法判斷；elseif a>0.5且b<0.5一堆沙子;end模糊理論與普通數學理論有很多不同，這裡還是介紹一個最簡單的：如果只有兩個模糊隸屬度函式，那麼我們會計算出兩個模糊隸屬度集，每一個集合的大小與原始輸入集都是一致的，也就是我們生成了兩個與原輸入 一 一 對應的集合：A, B。在模糊定義中，集合A與集合B的交集不為空，他們的併為全集（一般情況下），而傳統定量描述中A集合與B集合的交集為空，這是模糊數學與普通數學之間最明顯的區別。回到題主的問題，如果是在普通數學下討論這個問題，沒有答案，討論決定於定義，在模糊數學理論下，雖然討論還是決定於定義，但比普通數學的結論強一點。不知道是否解答了題主的問題？
我解釋一下在模糊數學理論中，一堆沙子如何描述；模糊數學是一門將定性問題轉化為定量描述的科學，對於這個問題，‘一堆’是定性描述，沙子的顆粒數是定量描述。我們先來考慮純定量的描述，這時假設評判只基於一個標準：沙子顆粒數大於等於10算作一堆沙子，那我們實際上是定義出了兩個集合：集合A{沙子數大於等於10}，集合B{沙子數小於10}。在判斷時，只需要判斷目標是屬於哪個集合即可，簡單明瞭，但是當沙子數為9，你說它不是一堆，只是因為創世神定義的時候沒定義，一大票沙子表示不服，於是模糊數學的概念應用而生；在模糊描述中，我們不只設定一個評判標準，考慮最簡單的情況，我們會定義兩個集合，集合A{a|一堆沙子}，集合B{b|幾粒沙子}，當沙子數為9時，我們可以說目標屬於集合A的程度為0.4，目標屬於集合B的程度為0.6，這裡的0.4與0.6決定於模糊隸屬度函式，視實際需要而不同（這裡的模糊隸屬度只是例子，並不嚴密）；單個的模糊隸屬度函式可以簡單理解為一個 一 一 對映，它就像一個裁判員，職責是判定每個目標變數的得分，這個得分就是模糊隸屬度。在最簡單的情況中，模糊隸屬度函式是一個二值函式，只輸出0，1兩個結果，如果實際問題比較複雜，莫比斯那樣的模糊隸屬度函式也是有可能的。評論中我提到了一種介乎於中間的情形，在那個背景中，就可能產生上面我舉的模糊隸屬度0.4與0.6的情況。（上圖可以表示一個模糊隸屬度函式集，函式集中的每一個函式可以表示這個圖的一部分）在定義好模糊隸屬度函式後，就進入到模糊推理階段（輸出最後的判斷）。還是考慮最簡單的情況，只有一個模糊隸屬度函式，那麼這實際上就是上文提到的普通數學定義法（普通數學被稱為模糊數學的一個特例），如果有兩個或兩個以上的模糊隸屬度函式（一個自變數會對映到兩個或兩個以上的模糊隸屬度），還是考慮簡單例子，在上文中，9粒沙子屬於一堆沙子的程度為0.4(a=0.4)，屬於幾粒沙子的程度為0.6(b=0.6)，綜合考慮，我們認為9粒沙子不是一堆沙子（定性判斷），這個綜合考慮的過程被稱為模糊推理（IF--THEN），具體的演算法有很多，我在這裡舉一個簡單例子：if a<0.5且b<0.5無法判斷；elseif a<0.5且b>0.5幾粒沙子；elseif a>0.5且b>0.5無法判斷；elseif a>0.5且b<0.5一堆沙子;end模糊理論與普通數學理論有很多不同，這裡還是介紹一個最簡單的：如果只有兩個模糊隸屬度函式，那麼我們會計算出兩個模糊隸屬度集，每一個集合的大小與原始輸入集都是一致的，也就是我們生成了兩個與原輸入 一 一 對應的集合：A, B。在模糊定義中，集合A與集合B的交集不為空，他們的併為全集（一般情況下），而傳統定量描述中A集合與B集合的交集為空，這是模糊數學與普通數學之間最明顯的區別。回到題主的問題，如果是在普通數學下討論這個問題，沒有答案，討論決定於定義，在模糊數學理論下，雖然討論還是決定於定義，但比普通數學的結論強一點。不知道是否解答了題主的問題？