如果已知連續，或者已知單調性，或者加其他一點點限制條件（例如在一個給定區間I上有界），那麼，f(0)可能可以任意取值（取決於增加的條件），其餘的函式值只有

冪函式，在正實數上是冪函式的奇函式或偶函式，恆為0的函式

可能滿足條件。

沒有這樣的額外條件應該就不可以了。這個回答挺好的，你可以看看。他分析的是函式方程f(x+y)=f(x)+f(y)，其實就是相當於你這個取個對數，“看上去”效果差不多。（這裡“看上去”的含義是，x或y小於零的情況會不會引起什麼特別的影響，我不知道）

譞譞：如果對任意實數，有f(x+y)=f(x)+f(y)，能求出函式f(x)嗎？

更新：

今天突然無意中想到，上面的“看上去”是對的。下面給出一個構造。

根據上面那個連結，存在g:R→R滿足：

1.任意實數x,y，有g(x+y)=g(x)+g(y)，

2.存在正實數x，g(x)≠x。

下面定義f:R→R：f(0)=0，

當x>0時f(x)=e^g(ln x)，

當x<0時f(x)=-f(-x)。

容易知道：f(x)完全不像冪函式，而且滿足任意實數x,y，f(xy)=f(x)f(y)。