如前面的答案所說，可以證明：
矩形面積=單位正方形面積*矩形長*矩形寬
只要要求面積具有一些自然的性質，比如平移不變性+（有限）可加性+非負性。
（以及矩形和其它的一些圖形的面積存在）
證明大意是這樣的：如果矩形長寬都是有理數，可以用簡單地把若干個矩形拼接，再把若干個單位正方形也拼接在一起，指出兩者相同，來證明這一點。如果是無理數，則要先把它放縮成有理數，再用有理數逼近它來證明。這樣得到了一般實數的證明。
但是我要說的是另一件事：勾股定理可以繞開面積法證明嗎？
（這裡採用初中平面幾何的邏輯體系，雖然可能不夠嚴密，而不是把平面幾何定義為二維實內積空間中的幾何）
要知道，我們標準初中課本上的證明，比如弦圖，或者《原本）的證法，都是用了面積法。
一個比較好的候選的非面積證法，是用相似三角形的證法。考慮直角三角形ABC，角A是直角。做BC邊上的高AD。那麼用相似三角形的判別法，三角形ABC，DBA，DAC相似。於是我們有
和 （這兩個公式稱為射影定理），相加就得到 ，即是勾股定理。
然而，在證明過程中，我們用到了相似三角形的判定定理。然而，相似三角形的判定定理，依賴於“平行線分線段成比例定理”：
如圖，三條水平線兩兩平行，兩條直線分別交三條平行線於A，B，C和D，E，F，則
如果AB=BC，則可以用全等三角形證明DE=EF，此時就是“平行線等分線段定理”。“分線段成比例定理”中，如果成的比例是有理數，當然可以新增更多的平行線使它們等分線段，再用“等分線段定理”證明；如果是無理數的話則不能直接這樣做。更早一點版本的課本有“分線段成比例定理”的證明，還是面積法：
這樣看起來，我們的證明又回到了原點；這個勾股定理的證法，還是面積法，只不過面積的應用隱藏很深，非仔細分析無法發現。
然而，其實我們完全可以用“有理數逼近無理數”的做法，用“等分定理”證明“成比例定理”，而不借助面積。我們可以用“等分定理”（它可以用全等證明）容易地證明，如果一個整數之比（有理數）小於 ，那麼它一定也小於 ，反之亦然。這樣根據實數的完備性，就知道兩者相等。用非面積法證明了“分線段成比例定理”之後，就可以順著下來，不用面積法來證明相似三角形的判定定理和勾股定理。
總而言之，勾股定理是可以不用面積法證明的，但是一定要用“有理數逼近一般實數”的手法，用到實數的完備性。這種做法顯然是不可能給中學生講清楚的，只能用（未嚴格定義也沒有證明過的，但是直覺上很好理解和接受的）面積法來“投機取巧”。“矩形的面積等於長乘寬”，本身就需要用“有理數逼近實數”來證明，所以這個結論蘊含了這種“逼近”手法，也就可以代替“逼近”法的證明。
如果對兩千多年的的古人解決這個問題的方法感興趣，可以參考《幾何原本》的比例一章。當然如果是為了學數學，就不需要看古人的東西了，可以參考數學分析中的實數章節。
如前面的答案所說，可以證明：
矩形面積=單位正方形面積*矩形長*矩形寬
只要要求面積具有一些自然的性質，比如平移不變性+（有限）可加性+非負性。
（以及矩形和其它的一些圖形的面積存在）
證明大意是這樣的：如果矩形長寬都是有理數，可以用簡單地把若干個矩形拼接，再把若干個單位正方形也拼接在一起，指出兩者相同，來證明這一點。如果是無理數，則要先把它放縮成有理數，再用有理數逼近它來證明。這樣得到了一般實數的證明。
但是我要說的是另一件事：勾股定理可以繞開面積法證明嗎？
（這裡採用初中平面幾何的邏輯體系，雖然可能不夠嚴密，而不是把平面幾何定義為二維實內積空間中的幾何）
要知道，我們標準初中課本上的證明，比如弦圖，或者《原本）的證法，都是用了面積法。
一個比較好的候選的非面積證法，是用相似三角形的證法。考慮直角三角形ABC，角A是直角。做BC邊上的高AD。那麼用相似三角形的判別法，三角形ABC，DBA，DAC相似。於是我們有
和 （這兩個公式稱為射影定理），相加就得到 ，即是勾股定理。
然而，在證明過程中，我們用到了相似三角形的判定定理。然而，相似三角形的判定定理，依賴於“平行線分線段成比例定理”：
如圖，三條水平線兩兩平行，兩條直線分別交三條平行線於A，B，C和D，E，F，則
如果AB=BC，則可以用全等三角形證明DE=EF，此時就是“平行線等分線段定理”。“分線段成比例定理”中，如果成的比例是有理數，當然可以新增更多的平行線使它們等分線段，再用“等分線段定理”證明；如果是無理數的話則不能直接這樣做。更早一點版本的課本有“分線段成比例定理”的證明，還是面積法：
這樣看起來，我們的證明又回到了原點；這個勾股定理的證法，還是面積法，只不過面積的應用隱藏很深，非仔細分析無法發現。
然而，其實我們完全可以用“有理數逼近無理數”的做法，用“等分定理”證明“成比例定理”，而不借助面積。我們可以用“等分定理”（它可以用全等證明）容易地證明，如果一個整數之比（有理數）小於 ，那麼它一定也小於 ，反之亦然。這樣根據實數的完備性，就知道兩者相等。用非面積法證明了“分線段成比例定理”之後，就可以順著下來，不用面積法來證明相似三角形的判定定理和勾股定理。
總而言之，勾股定理是可以不用面積法證明的，但是一定要用“有理數逼近一般實數”的手法，用到實數的完備性。這種做法顯然是不可能給中學生講清楚的，只能用（未嚴格定義也沒有證明過的，但是直覺上很好理解和接受的）面積法來“投機取巧”。“矩形的面積等於長乘寬”，本身就需要用“有理數逼近實數”來證明，所以這個結論蘊含了這種“逼近”手法，也就可以代替“逼近”法的證明。
如果對兩千多年的的古人解決這個問題的方法感興趣，可以參考《幾何原本》的比例一章。當然如果是為了學數學，就不需要看古人的東西了，可以參考數學分析中的實數章節。