1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。

證明過程：

根據立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，則有：

a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1.··

a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1

等式兩邊相加：

（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）

3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）

3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n

6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)

所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。

1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6證明如下：（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1等式兩邊相加：（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.

平方是一種運算，比如，a的平方表示a×a，簡寫成a²，也可寫成a×a(a的一次方乘a的一次方等於a的2次方），例如4×4=16，8×8=64，平方符號為2。

平方故事

相傳印度有位外來的大臣跟國王下棋，國王輸了，就答應滿足他一個要求：在棋盤上放米粒。第一格放1粒，第二格放2粒，然後是4粒，8粒，16粒…直到放到64格。國王哈哈大笑，認為他很傻，以為只要這麼一點米。

按照大臣的要求，放滿64個格，需米粒。這個數是18446744073709551615，是二十位的數字。這些米別說傾空國庫，就是整個印度，甚至全世界的米，都無法滿足這個大臣的要求！