混沌至今在數學上並沒有一個真正被所有數學家接受的定義. chaos這個詞的使用情況跟它自己一樣混亂, 而這個詞進入數學及其他科學和非科學的領域並廣為人知一方面由於與人們日常認識的反差, 另一方面很大程度上也是概念炒作的結果(科學家的水平往往不與名氣成正比, 把一個概念炒火了就可能意味著更多的名利或者藉此灌水發論文).數學家對混沌這一概念普遍的理解主要是指系統的複雜性(對未來的不可預測性)較高. 至於複雜性如何判定或描述則眾說紛紜. 題目所說的三種性質是數學家Devaney對混沌的定義, 也稱為Devaney混沌. 題目中雖然沒有給出嚴格的數學定義, 但就基本想法來說抓住了要領.注意的是這個定義的純數學版本是完全拓撲的, 確實不夠直觀. 三個性質中後兩條又能退出第一條. 而混沌的關鍵就在於第一條. 第二條其實只是保證了系統的獨立性, 意味著系統是一個整體而不可分割. 就好像月亮繞著地球轉不能拆開, 而如果考慮整個太陽系, 土星的衛星們跟著土星轉, 就跟地球月亮沒什麼關係了, 那麼太陽系就可以分成很多子系統. 當然每個子系統是可以滿足第二條的, 也就可以是"Deveney混沌"的. 再注意第二條不叫拓撲混合, 叫拓撲傳遞. 條件比拓撲混合要弱.在滿足第二條的情況下, 第一條和第三條其實都是在說系統的複雜性. 本質的第三條, 其實就是人們常說的"蝴蝶效應". 蝴蝶效應的本質不是小變化大幅度改變未來的結果, 而是微小誤差經過系統演變不斷放大導致未來系統長時間的演變方式難以預測. 比如超過7天的天氣預報必然不準, 因為即便模型百分百精確, 測量和計算的精度也有限. 真正的混沌指的就是在系統確定的情況下(即對應一個初值只有一種未來的可能性)由於初值的微小差別而導致的系統未來的"貌似"隨機現象. 舉個栗子, 比如從圓周率π開始, 每秒鐘把整數部分去掉, 然後再乘以10, 也就是所有數字前進一位.這是個完全確定的過程, π也是個確定的數. 但即便你能背下1000位, 這個數在20分鐘後會變成什麼, 對你來說也是完全未知的.最後說週期軌道. 在自然生活中很多我們總結的所謂規律, 都是週期現象. 複雜系統的變化, 如果有規律, 基本都是週期的變化, 而且是穩定的週期現象, 也就是不管初值如何, 最終都會呈現出來的週期現象. 就好像鐘擺, 又比如宇宙最初地球可能不繞著太陽轉, 後來跑到太陽身邊週期性的運動.而一個系統可能有不同的週期, 即不同週期的週期軌道. 比如地球繞太陽轉一圈的時間和月亮繞地球轉一圈的時間就不一樣.又如(剛體)鐘擺, 可以在低端附件搖擺, 也可能立在頂端不動(不動也是週期), 但頂端不動是不穩定的, 稍稍偏一點就掉下來了, 所以通常觀察不到. 通常我們只能觀察到穩定的週期現象. 但是當週期軌道稠密的時候, 往往就沒有穩定的週期軌道了, 系統可能呈現出各種擬週期(即"貌似"而非真正的週期), 而通常擬週期都不會長久, 總體上看就是貌似隨機的運動了.最後補充, 現在我所在動力系統領域數學家們對混沌的定義比較普遍的意見是由熵來刻畫的, 大概就是說初值的小變化在未來平均被放大的倍數. 取對數之後一般是非負的, 一般人是正的熵就意味著混沌了. 熵的好處在於可以描述系統的複雜程度即"混沌的程度", 即比較不同的系統哪個"更混沌".
混沌至今在數學上並沒有一個真正被所有數學家接受的定義. chaos這個詞的使用情況跟它自己一樣混亂, 而這個詞進入數學及其他科學和非科學的領域並廣為人知一方面由於與人們日常認識的反差, 另一方面很大程度上也是概念炒作的結果(科學家的水平往往不與名氣成正比, 把一個概念炒火了就可能意味著更多的名利或者藉此灌水發論文).數學家對混沌這一概念普遍的理解主要是指系統的複雜性(對未來的不可預測性)較高. 至於複雜性如何判定或描述則眾說紛紜. 題目所說的三種性質是數學家Devaney對混沌的定義, 也稱為Devaney混沌. 題目中雖然沒有給出嚴格的數學定義, 但就基本想法來說抓住了要領.注意的是這個定義的純數學版本是完全拓撲的, 確實不夠直觀. 三個性質中後兩條又能退出第一條. 而混沌的關鍵就在於第一條. 第二條其實只是保證了系統的獨立性, 意味著系統是一個整體而不可分割. 就好像月亮繞著地球轉不能拆開, 而如果考慮整個太陽系, 土星的衛星們跟著土星轉, 就跟地球月亮沒什麼關係了, 那麼太陽系就可以分成很多子系統. 當然每個子系統是可以滿足第二條的, 也就可以是"Deveney混沌"的. 再注意第二條不叫拓撲混合, 叫拓撲傳遞. 條件比拓撲混合要弱.在滿足第二條的情況下, 第一條和第三條其實都是在說系統的複雜性. 本質的第三條, 其實就是人們常說的"蝴蝶效應". 蝴蝶效應的本質不是小變化大幅度改變未來的結果, 而是微小誤差經過系統演變不斷放大導致未來系統長時間的演變方式難以預測. 比如超過7天的天氣預報必然不準, 因為即便模型百分百精確, 測量和計算的精度也有限. 真正的混沌指的就是在系統確定的情況下(即對應一個初值只有一種未來的可能性)由於初值的微小差別而導致的系統未來的"貌似"隨機現象. 舉個栗子, 比如從圓周率π開始, 每秒鐘把整數部分去掉, 然後再乘以10, 也就是所有數字前進一位.這是個完全確定的過程, π也是個確定的數. 但即便你能背下1000位, 這個數在20分鐘後會變成什麼, 對你來說也是完全未知的.最後說週期軌道. 在自然生活中很多我們總結的所謂規律, 都是週期現象. 複雜系統的變化, 如果有規律, 基本都是週期的變化, 而且是穩定的週期現象, 也就是不管初值如何, 最終都會呈現出來的週期現象. 就好像鐘擺, 又比如宇宙最初地球可能不繞著太陽轉, 後來跑到太陽身邊週期性的運動.而一個系統可能有不同的週期, 即不同週期的週期軌道. 比如地球繞太陽轉一圈的時間和月亮繞地球轉一圈的時間就不一樣.又如(剛體)鐘擺, 可以在低端附件搖擺, 也可能立在頂端不動(不動也是週期), 但頂端不動是不穩定的, 稍稍偏一點就掉下來了, 所以通常觀察不到. 通常我們只能觀察到穩定的週期現象. 但是當週期軌道稠密的時候, 往往就沒有穩定的週期軌道了, 系統可能呈現出各種擬週期(即"貌似"而非真正的週期), 而通常擬週期都不會長久, 總體上看就是貌似隨機的運動了.最後補充, 現在我所在動力系統領域數學家們對混沌的定義比較普遍的意見是由熵來刻畫的, 大概就是說初值的小變化在未來平均被放大的倍數. 取對數之後一般是非負的, 一般人是正的熵就意味著混沌了. 熵的好處在於可以描述系統的複雜程度即"混沌的程度", 即比較不同的系統哪個"更混沌".