如果從數學出發，想理解維數得知道線性空間的概念，維數指的是線性空間的維數，是一個整體概念。線性空間的典型例子是直線、平面和三維立體空間。注意在這裡我就用了三維這個術語，就是維數是三。那麼直線其實是一維線性空間，平面是二維線性空間。
透過例子我們熟悉了一二三維線性空間，那有人就問了，那四維線性空間的例子有嗎？我舉兩個，第一個是所有二乘二矩陣形成的集合在矩陣的加法和數乘下是線性空間，這個線性空間就是四維的；第二個是次數不超過三的多項式形成的集合在多項式加法和數乘下是線性空間，它也是四維的。
透過這兩個例子你就能知道想要多少維的線性空間都能找到例子了吧。但是想要真正知道維數的精確定義還需知道線性無關這個概念，這是線性空間中非常重要的概念。線性空間裡的元素叫向量，一個非零向量線性無關，兩個非零向量不成比例是線性無關的。三個向量如果任一個向量都不能由其餘兩個線性表出，則這三個向量線性無關，以此類推定義多個向量線性無關。
線性空間的維數就是在空間內能找到線性無關的向量最多是幾，也就是能找到一組向量，他們是線性無關的，新增一個進去後就不線性無關了，這個線性無關的向量組內有幾個向量維數就是幾，找到的這組向量就是線性空間的基底，線性空間的基底有無數種選擇，但每個基底內所含向量的個數一樣，這就是線性空間的維數。
維數似乎明白了吧，但還不知道什麼是線性空間呢。線性空間是集合，在沒成線性空間之前集合的元素是一盤散沙，沒有關係。在集合上定義加法(比如矩陣相加，多項式相加，n維向量相加)和數乘兩種運算，加法以及數乘滿足如果滿足十條公理，它就成為線性空間了。這裡解釋兩點，一是你可能會問，我學的教材中線性空間的公理是八條啊，那是你沒有注意前提是加法和數乘滿足封閉性；二是數乘的時候用什麼數去乘以向量，通常是選擇任意實數，也可以是任意複數，也可以換成其它數域內的任意數，其實線性空間的完整名稱是數域P上的線性空間。
有了線性空間的定義，集合上有了代數結構，元素之間有了關係，就可以進行後續發展以及應用了。線性空間是後續學習最重要的概念，解偏微分方程中用到各種Soblove空間是線性空間，只不過不是有限維的了，是由函式組成的無窮維空間。
我也不知道你能理解多少，如果想直白地理解維數，那就是能把一個數學概念唯一確定下來需要的引數的個數。比如在數軸上，想把一個點唯一確定下來只需一個數即可，在立體空間中唯一確定一個點就需要三個數了，同理，想把二乘二矩陣唯一確定下來需要四個數，所以他們分別是三維和四維空間中的一個向量。而你想把一個有限區間上的連續函式確定下來就需要(定義域內每點的函式值)無窮多個引數了，所以一般函式形成的空間是無窮維的，但特殊函式形成的空間也可能是有限維的，比如開頭舉的四維多項式的例子。
本來想用幾句話把這事說清楚的，看來越說用到的東西越多，用到的概念(按照用到的先後順序排)是: 集合，數域，加法，數乘，封閉性，八條公理(加法交換律，結合律，有零向量和負向量，數乘有兩條，加法數乘滿足兩個分配律)，線性空間，線性無關，線性相關，極大線性無關組(沒介紹，請自行查詢)，基底，維數。
松子講授線性代數和高等代數多年，請同行斧正！
如果從數學出發，想理解維數得知道線性空間的概念，維數指的是線性空間的維數，是一個整體概念。線性空間的典型例子是直線、平面和三維立體空間。注意在這裡我就用了三維這個術語，就是維數是三。那麼直線其實是一維線性空間，平面是二維線性空間。
透過例子我們熟悉了一二三維線性空間，那有人就問了，那四維線性空間的例子有嗎？我舉兩個，第一個是所有二乘二矩陣形成的集合在矩陣的加法和數乘下是線性空間，這個線性空間就是四維的；第二個是次數不超過三的多項式形成的集合在多項式加法和數乘下是線性空間，它也是四維的。
透過這兩個例子你就能知道想要多少維的線性空間都能找到例子了吧。但是想要真正知道維數的精確定義還需知道線性無關這個概念，這是線性空間中非常重要的概念。線性空間裡的元素叫向量，一個非零向量線性無關，兩個非零向量不成比例是線性無關的。三個向量如果任一個向量都不能由其餘兩個線性表出，則這三個向量線性無關，以此類推定義多個向量線性無關。
線性空間的維數就是在空間內能找到線性無關的向量最多是幾，也就是能找到一組向量，他們是線性無關的，新增一個進去後就不線性無關了，這個線性無關的向量組內有幾個向量維數就是幾，找到的這組向量就是線性空間的基底，線性空間的基底有無數種選擇，但每個基底內所含向量的個數一樣，這就是線性空間的維數。
維數似乎明白了吧，但還不知道什麼是線性空間呢。線性空間是集合，在沒成線性空間之前集合的元素是一盤散沙，沒有關係。在集合上定義加法(比如矩陣相加，多項式相加，n維向量相加)和數乘兩種運算，加法以及數乘滿足如果滿足十條公理，它就成為線性空間了。這裡解釋兩點，一是你可能會問，我學的教材中線性空間的公理是八條啊，那是你沒有注意前提是加法和數乘滿足封閉性；二是數乘的時候用什麼數去乘以向量，通常是選擇任意實數，也可以是任意複數，也可以換成其它數域內的任意數，其實線性空間的完整名稱是數域P上的線性空間。
有了線性空間的定義，集合上有了代數結構，元素之間有了關係，就可以進行後續發展以及應用了。線性空間是後續學習最重要的概念，解偏微分方程中用到各種Soblove空間是線性空間，只不過不是有限維的了，是由函式組成的無窮維空間。
我也不知道你能理解多少，如果想直白地理解維數，那就是能把一個數學概念唯一確定下來需要的引數的個數。比如在數軸上，想把一個點唯一確定下來只需一個數即可，在立體空間中唯一確定一個點就需要三個數了，同理，想把二乘二矩陣唯一確定下來需要四個數，所以他們分別是三維和四維空間中的一個向量。而你想把一個有限區間上的連續函式確定下來就需要(定義域內每點的函式值)無窮多個引數了，所以一般函式形成的空間是無窮維的，但特殊函式形成的空間也可能是有限維的，比如開頭舉的四維多項式的例子。
本來想用幾句話把這事說清楚的，看來越說用到的東西越多，用到的概念(按照用到的先後順序排)是: 集合，數域，加法，數乘，封閉性，八條公理(加法交換律，結合律，有零向量和負向量，數乘有兩條，加法數乘滿足兩個分配律)，線性空間，線性無關，線性相關，極大線性無關組(沒介紹，請自行查詢)，基底，維數。
松子講授線性代數和高等代數多年，請同行斧正！