這裡折射反射入社是指機率流（probability current) 當入射的電子是一個穩定beam而不是單個粒子的時候可以不考慮薛定諤的時間部分 這裡的機率是指單位時間內粒子的個數

根據經典力學，一個運動的粒子具有動能，粒子具有動能就能“翻越”一定高度的山峰，這個過程是動能轉換為勢能，然後又轉變為動能。

假設粒子的初始動能是K，那麼粒子最多能夠翻越勢能為V0=K的“山峰”，否則當粒子在山頂的時候，粒子的動能就是“負”的了，這是很荒唐的。

我們用量子力學考慮相同的物理過程，假設一個從左向右運動的粒子，初始動能是K，然後碰到一個勢壘，高度是V0，寬度是L。

在量子力學中，由於量子隧穿（Quantum tunnelling）效應的存在，粒子將有一定機率穿過勢壘。假設粒子從左向右入射的機率流是j，粒子碰到勢壘後將會有一定機率被反射回來，反射的機率流是j"，最後還有一定的機率流會穿過勢壘，假設是j"，那麼粒子穿越勢壘的透射率就被定義為：T=j"/j。

以上是計算粒子穿越勢壘透射率的思路。

按照波動力學的思路，勢壘穿透問題可以分為三個區域，粒子從左向右入射，左側第一個區域（V=0，K>V）有入射波和反射波，波函式的形式是正弦/餘弦形的，中間勢壘（V=V0，K<V）的區域波函式是指數衰減形的，右側區域（V=0，K>V）只有出射波，波函式是正弦/餘弦形的，然後我們要將這三個區域的波函式光滑地連線起來，就是最終勢壘穿透問題的解了。但要計算透射率，我們還需要計算粒子的機率流。機率流j的定義看起來比較複雜：如此定義的機率流j滿足“連續性方程”：這個式子的意思是：在空間某點選擇一個任意小的閉合球面，流入球面的機率等於單位時間球面裡的機率的增加。

在量子力學中，粒子具有波動的屬性，一個動量為p的粒子（或動能K為p^2/2m）可以看做是波長為λ=h/p的波動，因此我們可以把物質波的波長λ用粒子的動能K來表示：

換句話說動能為K的粒子可以被想象為波長為λ的波函式，波動的振幅對應粒子處在這種狀態的機率。考慮波函式ψ1：

這個波函式由兩部分組成，第一項表示的是從左向右傳播的波函式，對應的是入射粒子，第二項表示的是從右向左傳播的波函式，對應的是反射粒子。

但假如粒子處在勢壘V0的區域，以上波函式的表示式就不成立了，考慮粒子此時仍然要符合薛定諤方程，

化簡可得如下微分方程：

考慮到勢壘V0比入射動能K大，以上微分方程的解ψ2是e指數衰減或e指數增長形式的，

換句話說波函式ψ在不同區域就有不同形式的解，當能量E>V的時候，波函式就是振盪形式（正弦/餘弦）的，能量E<V的時候，波函式就是e指數（衰減/增長）形式的，由於勢壘的寬度L是有限的，e指數衰減在有限寬度上不會到0（考慮到粒子是從左向右入射，波函式指數增長的解是不合理的），所以粒子仍然有一定機率透射過來。

粗略的說這個透射的機率應正比于波函式ψ2絕對值的平方，因此透射率T：

量子力學的隧穿效應有很多物理應用，比較著名的有掃描隧道顯微鏡（STM）。

掃描隧道顯微鏡原理圖。