對於一個非齊次方程組Ax=b，假設A是一個n*m的矩陣，當然你也可以令n=m從而得到一個方陣，這是線上性代數教材上講解線性方程組的例子，在這裡，我們就姑且不限制A的形態。我們希望求解一個m維的向量x，使得Ax＝b。
首先我們來看一些這個方程解的結構,給出如下重要的定理。
Ax=b的解在m維空間內構成一個平面，並且是由Ax=0的解構成的子平面透過平移得到的。
1.假設原方程一定有解為什麼會有上述結論？我們這樣來看這個問題。首先我們認為Ax=b一定有解，對於您的問題我們先這樣假設，實際上，原方程不一定有解，有解的充要條件是b在A的列空間內，但為了解釋您想要理解的問題，我們先假設其一定有一個特解。
2.考慮Ax=b與Ax=0的關係假設是Ax＝0的一個解，那麼,這意味著對於Ax=0的任何一個解,我們都可以將其對應於另一個Ax=b的解。
假設是Ax=b的一個解，那麼,這意味著對於Ax=b的任何一個解，我們都可以將其對應於另一個Ax=0的解。
由以上兩條可知，Ax=0的解和Ax=b的解可以建立一一對應的關係，只需將Ax=0的所有解都加上Ax=b的特解即可。從而我們也知道，Ax=0的解和Ax=b的解的個數是一樣多的，如果在有無限個解的情況下，那麼解集的基數是一樣大的。
既然我們已經可以將Ax=0的解和Ax=b的解建立一一對應的關係，並且這種對應關係的具體表達方式我們也知道了，那麼接下來我們只要研究Ax=0的解結構就可以知道Ax=b的解結構了。
3.Ax=0解結構結論:Ax=0的解集在m維空間內構成過原點的子空間，並且該子空間是A的行空間的正交補空間。
A是一個n*m的矩陣，A的每一行都是一個m維向量，並且由Ax=0這個約束條件可知A的每一行都和解正交，那麼顯然解空間就是A的正交補空間。為了說的更明瞭，舉個例子，不妨就假設n=2,m=3A={1 0 0; 0 1 0}; A的行空間是由(1,0,0)和(0,1,0)張成的平面，那就是xoy平面，那麼和這個平面正交的補空間就是z軸張成的一條直線，對應於基向量(0,0,1),這就是解x。Ax=0。當然kx也是一個解，但是這些解構成一個子空間那就是z軸。
這時我們再看一下Ax=b的解，假設b=(1,2)。那麼一個特解就是(1,2,0)，所以Ax=b的解結構就是k(0,0,1)+(1,2,0)。是z軸沿著(1,2,0)平移的結果。
3.Ax=b解結構
結論：Ax=b的解集是一個和Ax=0的解空間相平行的結構，該結構是Ax=0的解空間沿著一個特解方向平移的結果。一下是直觀的解釋。
4.補充實際上，Ax=0解空間加上任何一個Ax=b的特解都可以得到Ax=b的解結構，例如圖中的，選取不同的特解唯一不同的就是使得Ax=0的解和Ax=b的解的一一對應方式不同而已。你可以觀察，將上圖中Ax=0的解空間沿或者平移之後得到的都是Ax=b的解集，唯一不同的是，原點分別被平移到了不同的點，一個是，一個是。
所以無論選取哪個特解，最終通解的解集都是那個Ax=b對應的的平面。
對於一個非齊次方程組Ax=b，假設A是一個n*m的矩陣，當然你也可以令n=m從而得到一個方陣，這是線上性代數教材上講解線性方程組的例子，在這裡，我們就姑且不限制A的形態。我們希望求解一個m維的向量x，使得Ax＝b。
首先我們來看一些這個方程解的結構,給出如下重要的定理。
Ax=b的解在m維空間內構成一個平面，並且是由Ax=0的解構成的子平面透過平移得到的。
1.假設原方程一定有解為什麼會有上述結論？我們這樣來看這個問題。首先我們認為Ax=b一定有解，對於您的問題我們先這樣假設，實際上，原方程不一定有解，有解的充要條件是b在A的列空間內，但為了解釋您想要理解的問題，我們先假設其一定有一個特解。
2.考慮Ax=b與Ax=0的關係假設是Ax＝0的一個解，那麼,這意味著對於Ax=0的任何一個解,我們都可以將其對應於另一個Ax=b的解。
假設是Ax=b的一個解，那麼,這意味著對於Ax=b的任何一個解，我們都可以將其對應於另一個Ax=0的解。
由以上兩條可知，Ax=0的解和Ax=b的解可以建立一一對應的關係，只需將Ax=0的所有解都加上Ax=b的特解即可。從而我們也知道，Ax=0的解和Ax=b的解的個數是一樣多的，如果在有無限個解的情況下，那麼解集的基數是一樣大的。
既然我們已經可以將Ax=0的解和Ax=b的解建立一一對應的關係，並且這種對應關係的具體表達方式我們也知道了，那麼接下來我們只要研究Ax=0的解結構就可以知道Ax=b的解結構了。
3.Ax=0解結構結論:Ax=0的解集在m維空間內構成過原點的子空間，並且該子空間是A的行空間的正交補空間。
A是一個n*m的矩陣，A的每一行都是一個m維向量，並且由Ax=0這個約束條件可知A的每一行都和解正交，那麼顯然解空間就是A的正交補空間。為了說的更明瞭，舉個例子，不妨就假設n=2,m=3A={1 0 0; 0 1 0}; A的行空間是由(1,0,0)和(0,1,0)張成的平面，那就是xoy平面，那麼和這個平面正交的補空間就是z軸張成的一條直線，對應於基向量(0,0,1),這就是解x。Ax=0。當然kx也是一個解，但是這些解構成一個子空間那就是z軸。
這時我們再看一下Ax=b的解，假設b=(1,2)。那麼一個特解就是(1,2,0)，所以Ax=b的解結構就是k(0,0,1)+(1,2,0)。是z軸沿著(1,2,0)平移的結果。
3.Ax=b解結構
結論：Ax=b的解集是一個和Ax=0的解空間相平行的結構，該結構是Ax=0的解空間沿著一個特解方向平移的結果。一下是直觀的解釋。
4.補充實際上，Ax=0解空間加上任何一個Ax=b的特解都可以得到Ax=b的解結構，例如圖中的，選取不同的特解唯一不同的就是使得Ax=0的解和Ax=b的解的一一對應方式不同而已。你可以觀察，將上圖中Ax=0的解空間沿或者平移之後得到的都是Ax=b的解集，唯一不同的是，原點分別被平移到了不同的點，一個是，一個是。
所以無論選取哪個特解，最終通解的解集都是那個Ax=b對應的的平面。