數學裡，我們一般將數集到數集之間的對映稱作函式，而把從函式空間到數集的對映稱作泛函。廣義函式（ generalized functions 或 distributions）是定義在一類特殊函式空間上的連續線性泛函，一些不符合經典函式概念的，像單位衝激函式，即delta函式（dirac函式）：

單位階躍函式（Heaviside函式）：

都屬於這類。

歷史上，廣義函式最早源於蘇聯數學家索伯列夫（Sobolev，1936）對二階雙曲方程的研究，為了不僅限於在古典導數意義下求解，他引進了廣義微商（對廣義函式的“求導”），這使得很多在古典意義下適定性不成立的非線性方程，在解為廣義函式的意義下可以建立解的存在唯一性。之後，法國數學家Schwartz 在50年代進一步發展了廣義函數理論，他類比delta函式是點電荷的電勢分佈，用distribution來代表廣義函式，確立了其嚴格的數學基礎，也因此獲得了1950年的菲爾茲獎。

下面簡單地說一下與廣義函式相關的數學概念。

所有具有無窮次可微性且支集是緊的函式所組成的函式空間，即上規定了收斂性後，我們稱之為基本函式空間，裡邊的元素也叫試驗函式（test funciton）。廣義函式空間就是基本函式空間上所有連續線性泛函的全體，即之前我們說delta函式是廣義函式，是因為：

這就是衝激函式的嚴格數學定義。

如果對於Omega裡的任一緊集K：

則稱作f是區域性可積函式，記作

每一個區域性可積函式以下述方式對應一個廣義函式：

區域性可積函式空間是廣義函式空間的真子集，也就是說廣義函式並不一定可以對應一個區域性可積函式，比如delta函式。

如果對於廣義函式f:

則稱v為f的alpha階廣義導數，或弱導數（weak derivative）。記作

廣義函式的廣義微商總是存在的，但普通導數並不一定有，比如階躍函式的廣義導數就是delta函式：

普通導數一定是廣義導數，只不過是在廣義函式的意義下，所以作為普通求導的擴充，廣義微商的引進是合理的。利用弱導數，可以定義偏微分方程的弱解(Sobolev空間裡的弱解理論)。對於PDE的適定性問題，近代以來通常都是先得到弱解的存在唯一性，再根據正則性理論證明解的光滑性，從而得到古典解。比如，熱方程的基本解：

就是在廣義函式的意義下滿足：

除了廣義微商，還可以將傅立葉變換擴充在廣義函式空間上，這裡就暫不敘述了。