對應的齊次方程為

y"+y=0

特徵方程r2+1=0

r=±i

λ=0,不是特徵根，k=0

原方程的特解形式可設為y*=ax2+bx+c

y*"=2ax+b

y*"=2a

y*"+y*=ax2+bx+2a+c=x2

a=1,b=0,2a+c=0

解得c=-2

所以特解y*=x2-2

y""+3y"+2y=3e^(-2x)

(1)先求齊次方程的通解

特徵方程

r2+3r+2=0

(r+2)(r+1)=0

得r=-1或r=-2

所以齊次通解Y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)

(2)再求非齊次的特解

根據已知λ=-2是特徵方程的單根，所以k=1

設y*=xae^(-2x)

y*"=ae^(-2x)-2xae^(-2x)

y*""=-2ae^(-2x)-2ae^(-2x)+4xae^(-2x)

代入原方程得

-2ae^(-2x)-2ae^(-2x)+4xae^(-2x)+3[ae^(-2x)-2xae^(-2x)]+2xae^(-2x)=3e^(-2x)

-ae^(-2x)=3e^(-2x)

得a=-3

所以y*=-3xe^(-2x)

綜上，該非齊次的通解為

y=Y+y*=C1e^(-x)+C2e^(-2x)-3xe^(-2x)

一般式是這樣的ay""+by"+cy=f(x)

第一步：求特徵根

令ar²+br+c=0，解得r1和r2兩個值，（這裡可以是複數，例如(βi)²=-β²）

第二步：通解

1、若r1≠r2，則y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)

2、若r1=r2,則y=(C1+C2x)*e^(r1*x)

3、若r1,2=α±βi,則y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

第三步：特解

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是關於x的多項式，且λ經常為0）

則y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同樣形式的多項式，例如P（x）是x²+2x，則設Q（x）為ax²+bx+c，abc都是待定係數)

1、若λ不是特徵根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）

2、若λ是單根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）

3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx

1、若α+βi不是特徵根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

2、若α+βi是特徵根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定係數）

第四步：解特解係數

把特解的y*"",y*",y*都解出來帶回原方程，對照係數解出待定係數。

最後結果就是y=通解+特解。

通解的係數C1，C2是任意常數。