面積的計算 本節內容主要是簡述圖形面積的度量的概念和證明長方形的面積公式． 我們在§1中已經談到長度和角度的概念，現在來分析一下“面積”這個基本幾何量．度量一個圖形的面積通常取邊長為一個長度單位的正方形做面積單位．例如，我們把每邊長為1釐米的正方形的面積叫做一平方釐米． 度量一個圖形的面積的大小，實際上求出這個圖形所含有的面積單位的量數．也可以說是求這個圖形的面積和麵積單位的比值，這個量數(或比值)是一個正實數． 由面積的直觀含義，我們看到面積這個幾何量具有以下基本性質： (1)設R和R′是兩個可以完全重合的“平面區域”(圖2－10)，即R和R′的形狀、大小完全一致，則R和R′的面積完全相等。兩個平面圖形如果面積相等，則稱它們是等積． (2)設平面區域R1、R2是由平面區域R分割而成，則R的面積等於R1和R2面積的和(圖2－11)． (3)設平面區域T是平面區域R的一部分，則T的面積小於R的面積(圖2－12)． 為了敘述方便，我們採用符號：S(a，b)表示兩條鄰邊長分別67是a、b的長方形面積． 定理 長方形的面積等於長乘寬，即 S(a，b)＝a·b． 我們分以下幾種情況來證明本定理(①定理證明為選學內容．)． (1)設u是長度單位，a＝lu，b=mu，l、m都是整數(在圖2－13中，l＝4，m＝3)．我們把a、b分別等分為l、m等份，然後過各分點，分別引a、b的平行線，把長方形ABCD分割成l·m個邊長為u的單位正方形．所以 S(a，b)= l·m·S(u，u)=l·m(u2) ＝lu·mu＝a·b． (2)當u是長度單位，a＝l·u，b=m·u，但l、m不是整數的小正方形．所以 即S(a，b)=a·b． (3)當l、m不一定是有理數(分數)時，我們應用以下夾逼原理來加以證明． 夾逼原理 設a、a′是兩個實數，假如它們同時被一個遞增數列｛an｝和一個遞減數列｛bn｝所左右夾逼，而且(bn-an)在n增大時可以小到任意小，即 a1≤…≤an－1≤an≤…＜a， a′＜…≤bn≤bn-1≤…≤b1， (bn-an)→0， 則 a=a′ 由於無理數可以用有理數來逼近，並可精確到任意程度．所以，我們可以取｛ln｝、｛l′n｝為左右夾逼l的分數數列，即ln、l′n為分數且ln→l←l′n；又取｛Wn｝，｛W′n｝為左右夾逼m的分數數列．如圖2－15所示， 長方形ABnCnD2n的面積=S(lnu，wnu)=lnwn(u2)， 長方形AB′nC′nD′n的面積=S(l′nu，w′nu)＝l′n·w′n(u2)． 設長方形ABCD的面積=S(a，b)． 顯然有 ln·wn(u2)≤S(a，b)≤l′n·w′n(u2)． 因為 ln≤l≤l′n，wn≤m≤w′n， 所以 ln·wn≤l·m≤l′n·w′n． (1) 因為 (l′n-ln)→0，(w′n-wn)→0， 所以 (l′n·w′n-ln·wn) ＝(l′n·w′n-l′n·wn+l′nw-ln·wn) =［l′n(w′n-wn)+wn(l′n-ln)］→0．(2) 由(1)、(2)並根據夾逼原理，就有 S(a，b)＝l·m(u2)， 即 S(a，b)=lu·mu=a·b．
面積的計算 本節內容主要是簡述圖形面積的度量的概念和證明長方形的面積公式． 我們在§1中已經談到長度和角度的概念，現在來分析一下“面積”這個基本幾何量．度量一個圖形的面積通常取邊長為一個長度單位的正方形做面積單位．例如，我們把每邊長為1釐米的正方形的面積叫做一平方釐米． 度量一個圖形的面積的大小，實際上求出這個圖形所含有的面積單位的量數．也可以說是求這個圖形的面積和麵積單位的比值，這個量數(或比值)是一個正實數． 由面積的直觀含義，我們看到面積這個幾何量具有以下基本性質： (1)設R和R′是兩個可以完全重合的“平面區域”(圖2－10)，即R和R′的形狀、大小完全一致，則R和R′的面積完全相等。兩個平面圖形如果面積相等，則稱它們是等積． (2)設平面區域R1、R2是由平面區域R分割而成，則R的面積等於R1和R2面積的和(圖2－11)． (3)設平面區域T是平面區域R的一部分，則T的面積小於R的面積(圖2－12)． 為了敘述方便，我們採用符號：S(a，b)表示兩條鄰邊長分別67是a、b的長方形面積． 定理 長方形的面積等於長乘寬，即 S(a，b)＝a·b． 我們分以下幾種情況來證明本定理(①定理證明為選學內容．)． (1)設u是長度單位，a＝lu，b=mu，l、m都是整數(在圖2－13中，l＝4，m＝3)．我們把a、b分別等分為l、m等份，然後過各分點，分別引a、b的平行線，把長方形ABCD分割成l·m個邊長為u的單位正方形．所以 S(a，b)= l·m·S(u，u)=l·m(u2) ＝lu·mu＝a·b． (2)當u是長度單位，a＝l·u，b=m·u，但l、m不是整數的小正方形．所以 即S(a，b)=a·b． (3)當l、m不一定是有理數(分數)時，我們應用以下夾逼原理來加以證明． 夾逼原理 設a、a′是兩個實數，假如它們同時被一個遞增數列｛an｝和一個遞減數列｛bn｝所左右夾逼，而且(bn-an)在n增大時可以小到任意小，即 a1≤…≤an－1≤an≤…＜a， a′＜…≤bn≤bn-1≤…≤b1， (bn-an)→0， 則 a=a′ 由於無理數可以用有理數來逼近，並可精確到任意程度．所以，我們可以取｛ln｝、｛l′n｝為左右夾逼l的分數數列，即ln、l′n為分數且ln→l←l′n；又取｛Wn｝，｛W′n｝為左右夾逼m的分數數列．如圖2－15所示， 長方形ABnCnD2n的面積=S(lnu，wnu)=lnwn(u2)， 長方形AB′nC′nD′n的面積=S(l′nu，w′nu)＝l′n·w′n(u2)． 設長方形ABCD的面積=S(a，b)． 顯然有 ln·wn(u2)≤S(a，b)≤l′n·w′n(u2)． 因為 ln≤l≤l′n，wn≤m≤w′n， 所以 ln·wn≤l·m≤l′n·w′n． (1) 因為 (l′n-ln)→0，(w′n-wn)→0， 所以 (l′n·w′n-ln·wn) ＝(l′n·w′n-l′n·wn+l′nw-ln·wn) =［l′n(w′n-wn)+wn(l′n-ln)］→0．(2) 由(1)、(2)並根據夾逼原理，就有 S(a，b)＝l·m(u2)， 即 S(a，b)=lu·mu=a·b．