氫原子是可以解析嚴格求解的。實際上，我們關於多電子原子的模型是忽略掉電子電子相互作用的，對於每個電子，運動方程都是一樣的，所以我們就只解一個就夠了，也就是你說的看起來是算的氫原子的方程。加上泡利不相容原理，我們可以知道不考慮電子電子相互作用的多電子原子，其電子是如何排布的。然而實際上，忽略電子電子相互作用的模型太過於粗糙，但是這個模型已經足夠好得提供基礎概念和理解，讓我們得以繼續沿用這些概念來理解更復雜的模型。比如鹼金屬原子，裡德堡原子，都是氫原子的修正版本。洪特規則則是僅僅考慮d軌道上電子電子相互作用而總結出的電子能級排布的修正。氦原子是最基本的多體模型，嚴格求解非常複雜，但是我們有各種近似方法，這些近似方法都或多或少地揭示了多體相互作用系統的物理。使用氫原子的那一套，本身也不是當做精確解來處理的，只是當做一個近似。所以你看到週期表裡面過渡元素的基態電子排布和氫原子預期的結果不一樣，有些軌道的電子填充順序是不規則的。忽略電子和電子相互作用的時候，那就只有電子和原子核的相互作用。這樣的話，只是把氫原子核的電荷改了，方程的解形式是一樣的。加上電子-電子相互作用後，求解就比較複雜了，除了新增的庫倫勢，還有更復雜交換關聯能。實際上計算化學基礎理論基本全都是在折騰這個東西。目前流行的方法是密度泛函。 對於多電子體系，解析解得不到，這一點很正確。（鄧從豪對氦原子的直接求解好像沒法容易的推廣到更復雜的體系，不知道誰能細講一下這個方法）但是不代表我們不能（在某些近似的基礎上）進行數值求解啊。題主提到定性分析，這也很正確。定性分析的最重要成果之一可能就是量子力學的“變分原理”：近似波函式總是具有較高的能量。那我們可以在某種簡化的近似下求出一個波函式，然後再把簡化的條件一點一點加回去，加回去……這樣總能保證近似波函式是逐步逼近精確波函式的。現在主流的Hartree-Fock, Post Hartree-Fock就是按照這個思路來的。另外題主對軌道概念有所懷疑，如果細想的話，也是很深刻的見解。Hohenberg-Kohn定理指出：基態的能量僅僅取決於基態的電子密度。後來人們又將其擴充套件至其他性質。也就是說，我們完全可以拋棄軌道/波函式的概念而只專注於電子密度。這就是現代量子化學另一大分支DFT的理論基礎。問題在於，1）如何求得電子密度，2）電子密度如何決定了基態能量。前者可以在Kohn-Sham框架內解決，後者則沒有一個確定的演進路徑（因為變分原理不適用），就任憑各路豪傑八仙過海，各顯神通，針對不同的體系提出各式各樣五花八門的“泛函”了。 使用類氫原子的解析解作為基函式來構造多電子原子的電子運動波函式，本身就是數學家證明了可行的研究無解析解的微分方程的方法。數學原理請看定態波函式的本徵函式族是完備的？ - 胡嘯東的回答我們一直在做這件事情！另外，針對不同的分子體系，在數值計算時，計算化學家不斷開發出新的基函式，從 STO3G 到現在的什麼 cc-pVXZ，都是為了更精確地描述特定體系，更快地數值收斂。就比如說： He原子基態的電子情況，為什麼就是1s軌道上排有2個電子？。有人去實際透過薛定諤方程解過或者證明過這個事實嗎？這就是解方程解出來的啊摔！題主來告訴我，1s 軌道的波函式怎麼寫？1s 軌道，n=1, l=0, ml=0，軌道波函式就這一種形式。能填兩個電子，是因為電子還有自旋波函式，泡利不相容原理允許自旋反平行的兩個電子呆在一起。要是沒有電子自旋，1s 只能填一個，因為量子數只允許一個。再者，實驗光譜學家早就把氦原子光譜研究得很透徹了。從光譜反推也可以推出來 1s 就只有這一種。
氫原子是可以解析嚴格求解的。實際上，我們關於多電子原子的模型是忽略掉電子電子相互作用的，對於每個電子，運動方程都是一樣的，所以我們就只解一個就夠了，也就是你說的看起來是算的氫原子的方程。加上泡利不相容原理，我們可以知道不考慮電子電子相互作用的多電子原子，其電子是如何排布的。然而實際上，忽略電子電子相互作用的模型太過於粗糙，但是這個模型已經足夠好得提供基礎概念和理解，讓我們得以繼續沿用這些概念來理解更復雜的模型。比如鹼金屬原子，裡德堡原子，都是氫原子的修正版本。洪特規則則是僅僅考慮d軌道上電子電子相互作用而總結出的電子能級排布的修正。氦原子是最基本的多體模型，嚴格求解非常複雜，但是我們有各種近似方法，這些近似方法都或多或少地揭示了多體相互作用系統的物理。使用氫原子的那一套，本身也不是當做精確解來處理的，只是當做一個近似。所以你看到週期表裡面過渡元素的基態電子排布和氫原子預期的結果不一樣，有些軌道的電子填充順序是不規則的。忽略電子和電子相互作用的時候，那就只有電子和原子核的相互作用。這樣的話，只是把氫原子核的電荷改了，方程的解形式是一樣的。加上電子-電子相互作用後，求解就比較複雜了，除了新增的庫倫勢，還有更復雜交換關聯能。實際上計算化學基礎理論基本全都是在折騰這個東西。目前流行的方法是密度泛函。 對於多電子體系，解析解得不到，這一點很正確。（鄧從豪對氦原子的直接求解好像沒法容易的推廣到更復雜的體系，不知道誰能細講一下這個方法）但是不代表我們不能（在某些近似的基礎上）進行數值求解啊。題主提到定性分析，這也很正確。定性分析的最重要成果之一可能就是量子力學的“變分原理”：近似波函式總是具有較高的能量。那我們可以在某種簡化的近似下求出一個波函式，然後再把簡化的條件一點一點加回去，加回去……這樣總能保證近似波函式是逐步逼近精確波函式的。現在主流的Hartree-Fock, Post Hartree-Fock就是按照這個思路來的。另外題主對軌道概念有所懷疑，如果細想的話，也是很深刻的見解。Hohenberg-Kohn定理指出：基態的能量僅僅取決於基態的電子密度。後來人們又將其擴充套件至其他性質。也就是說，我們完全可以拋棄軌道/波函式的概念而只專注於電子密度。這就是現代量子化學另一大分支DFT的理論基礎。問題在於，1）如何求得電子密度，2）電子密度如何決定了基態能量。前者可以在Kohn-Sham框架內解決，後者則沒有一個確定的演進路徑（因為變分原理不適用），就任憑各路豪傑八仙過海，各顯神通，針對不同的體系提出各式各樣五花八門的“泛函”了。 使用類氫原子的解析解作為基函式來構造多電子原子的電子運動波函式，本身就是數學家證明了可行的研究無解析解的微分方程的方法。數學原理請看定態波函式的本徵函式族是完備的？ - 胡嘯東的回答我們一直在做這件事情！另外，針對不同的分子體系，在數值計算時，計算化學家不斷開發出新的基函式，從 STO3G 到現在的什麼 cc-pVXZ，都是為了更精確地描述特定體系，更快地數值收斂。就比如說： He原子基態的電子情況，為什麼就是1s軌道上排有2個電子？。有人去實際透過薛定諤方程解過或者證明過這個事實嗎？這就是解方程解出來的啊摔！題主來告訴我，1s 軌道的波函式怎麼寫？1s 軌道，n=1, l=0, ml=0，軌道波函式就這一種形式。能填兩個電子，是因為電子還有自旋波函式，泡利不相容原理允許自旋反平行的兩個電子呆在一起。要是沒有電子自旋，1s 只能填一個，因為量子數只允許一個。再者，實驗光譜學家早就把氦原子光譜研究得很透徹了。從光譜反推也可以推出來 1s 就只有這一種。