導數是函式的區域性性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。

當函式y=f(x)的自變數x在一點x0上產生一個增量Δx時，函式輸出值的增量Δy與自變數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f"(x0)或df(x0)/dx。

你不要拘泥於xy，或者x就代表橫座標或者自變數，這只是人們約定俗成的而已。按照你說這裡x是因變數，那麼y就是自變數。那麼對於這道題而言對自變數的導數就是0.5。或者在這裡x就是平常的y，那麼這裡y就是平常的x。只是一種規定表達，活學活用，理解導數的定義你就會明白。

港真，你這個問法搞得我很焦灼，一般我們都是用x做自變數，y做因變數的，作圖也是以自變數為橫軸，因變數為縱軸，你非要反過來搞，其實這個不算是思考問題的方式獨特，這只是走彎路，因為這樣出題只是考驗了人繞彎子的本領，對於解決實際問題沒什麼幫助。

好了，吐槽完畢，開始答題。既然你這樣問了，我就按你說的來回答，沒辦法，問問題的都是大爺，你們想怎麼玩我們就怎麼玩我們。

要說導數，還是得從導數的名稱說起。我們平時導數導數都叫慣了，但導數只是一個簡稱，它的全名叫導函式。

導數書面的定義就是極限，若函式f(x)在x點處可導，當Δx趨於0時，（f(x+Δx)-f(x)）/Δx的極限就是就是函式在x處的導數。那麼函式每一點的導數又是一個關於x的函式，於是把這個函式就叫做導函式，簡稱導數，所以說，導數也是一個函式。

題主的描述裡繞了一大圈，就是把自變數用y表示了，把因變數用x表示了。那麼此時的導數就是dx/dy=1/2了。這個表示的是x對y求導，把y看作自變數。

至於斜率與導數的關係，這就是導數的物理意義了。函式在定義域內某一點的導數值就等於該點處切線的斜率。這個也很好理解，看下圖

當Δx趨於0時，（x0，f(x0)）與（x，f(x)）連線的斜率就是dy/dx，也就是x處的導數，因為Δx趨於0了，那麼兩個點幾乎重合了，所以它們的連線就成了函式該點的切線。

再回到描述的問題，如果以自變數作為橫座標，因變數作為縱座標的話，那麼有一點的導數就是該點切線的斜率，題目說的x=1/2y是一條直線，那麼切線就和本身重合，切線斜率就是1/2。但題目上把因變數做了橫座標，那麼原函式切線的斜率就是導數分之一，也就是2。

探討導數的本質繞不開兩個問題：導數的數學意義和求導的原理。

數學意義。數學中的函式可以在座標軸中表示為直線或曲線(也有線段)，把所有的線都分解為微小的線段，每個微小線段的斜率就是導數，斜率等於因變數y的微小變化量除以對應自變數x的微小變化量。(求導的數學意義是微小線段的斜率)

求導原理。如果是y=4x,我們很容易求出導數為4。但是y=4x²就複雜一些，這類求導都會用到一條特殊的數學原理。

x增加無窮小的Δx，則導數為[4(x+Δx)²-4x²]/Δx，化簡之後是8x+4Δ×。我們知道Δx是無窮小，最後的結果應該是8x，但是數學是嚴謹的學科，不能憑感覺就直接丟掉無窮小，除非能夠證明。(分形幾何可以得到很多無窮小的線段)

實際上無窮小就是在證明之後丟掉的，在數學中，一個數加上或減去無窮小後大小不變。比如1-Δx=0.9999……，而0.9999……=1在數學上已經得到了嚴格的證明。稍微複雜的求導都會用到這一數學原理，可以說它就是求導的基本原理。