Schur定理: 任意nxn實矩陣A, 存在酉矩陣U與上三角陣R, 使得A=U*R*U(T) (U(T)表示將矩陣U共軛轉置), R中的元素, 可能為複數.
(而且還可以進一步要求R的對角元素為矩陣A的特徵值, 還可以按順序排列.)
矩陣的QR分解定理: 任意nxn實矩陣A, 存在正交陣Q與上三角陣R, 使得A=Q*R
(證明用到數值分析中的Householder變換, 好像還有矩陣收縮技巧)
Schur定理的證明:
給定nxn實矩陣A, 可以求出A的n個特徵值, 不妨設為c1,c2,...,cn(順序沒有要求). 我們假設存在上述的U與R, 只要將它們求出來了, 即可說明其存在性了, 同時也說明了其構造或求解的過程. 同時為了過程簡略,設特徵值互不相同. 特殊情況在最後再加以說明.
設A,U,R的元素分別為aij,uij,rij, 矩陣分塊,列向量分別為ai,ui,ri.i,j=1,...n.
A=U*R*U(T)等價於A*U=U*R.
下面的過程, 只是為了解出U,R. 令R的對角元為c1,c2,...cn. 左下角的全為0, 只有右上角的(n^2-n)/2個待求變數. U中有n^2個變數.下面就求出這些變數,注意要利用另一個條件,就是矩陣U的性質(酉矩陣)
將矩陣作如下分塊: A*(u1,u2,...un)=U*(r1,r2,...rn). 先看乘積後的第一列: A*u1=U*r1.
由於R為上三角陣, 且對角元為A的特徵值, 所以列向量r1只有第一個元素為c1, 其餘的全為0. 所以上式就可以化為: A*u1=c1*u1. u1為A的特徵值c1所對應的特徵向量, 當然存在, 可以求出來了. 再利用酉矩陣的性質(不同的列向量都正交,且為單位向量, 所以要將u1單位化. 這樣, 得到U的第1列u1.
繼續考察A*u2=U*r2
A*u2=r12*u1+r22*u2=r12*u1+c2*u2.
即: A*u2=r12*u1+c2*u2. 式中含有u2及r12共n+1個變數, 需要n+1個獨立的方程才可解出. 然而, 上式含有n個方程, u1與u2垂直, u2單位長度, 共n+2個條件. 但在上式中, c2為A的特徵值, 所以n個方程並不是相互獨立的. 列出n+2個方程, 剛好可以解出u2與r12.
一般情況,考察A*uk=U*rk
A*uk=U*rk=r1k*u1+r2k*u2+...+r(k-1)k*u(k-1)+rkk*uk
A*uk=r1k*u1+r2k*u2+...+r(k-1)k*u(k-1)+ck*uk
與前面討論類似, 共有uk中的n個變數和rk中的(k-1)個變數(r1k,r2k,...r(k-1)k), rkk=ck為已知的特徵值. 所以共有(n+k-1)個變數. 上面的式子中含有n個方程, 利用u1,u2,...u(k-1)與uk垂直, 可得(k-1)個方程, 再加上uk為單位向量, 共(n+k)個方程, 正好可以解出所有的(n+k-1個)變數.
如此繼續, 直到第n步的A*un=U*rn. 這樣便可以解出所有的rij與uk, 矩陣U與R便可以確定了.
證畢.
注: 1. 若出現重特徵值, 比如ck為m重特徵值, 則按上面方法求出的uk會有m個線性無關的解. 將正交性, 單位長度的條件都用上, 仍可以解出來. 這些向量的求法與高等代數中求若當標準形, 求特徵值特徵向量極為相似.
2. 若A為對稱矩陣, 則R必為對角矩陣, 而且正是A的若當標準形. A=U*R*U(T), 則R=U(T)*A*U, R(T)=R, 上三角形矩陣共軛轉置不變, 則必為對角陣.
Schur定理: 任意nxn實矩陣A, 存在酉矩陣U與上三角陣R, 使得A=U*R*U(T) (U(T)表示將矩陣U共軛轉置), R中的元素, 可能為複數.
(而且還可以進一步要求R的對角元素為矩陣A的特徵值, 還可以按順序排列.)
矩陣的QR分解定理: 任意nxn實矩陣A, 存在正交陣Q與上三角陣R, 使得A=Q*R
(證明用到數值分析中的Householder變換, 好像還有矩陣收縮技巧)
Schur定理的證明:
給定nxn實矩陣A, 可以求出A的n個特徵值, 不妨設為c1,c2,...,cn(順序沒有要求). 我們假設存在上述的U與R, 只要將它們求出來了, 即可說明其存在性了, 同時也說明了其構造或求解的過程. 同時為了過程簡略,設特徵值互不相同. 特殊情況在最後再加以說明.
設A,U,R的元素分別為aij,uij,rij, 矩陣分塊,列向量分別為ai,ui,ri.i,j=1,...n.
A=U*R*U(T)等價於A*U=U*R.
下面的過程, 只是為了解出U,R. 令R的對角元為c1,c2,...cn. 左下角的全為0, 只有右上角的(n^2-n)/2個待求變數. U中有n^2個變數.下面就求出這些變數,注意要利用另一個條件,就是矩陣U的性質(酉矩陣)
將矩陣作如下分塊: A*(u1,u2,...un)=U*(r1,r2,...rn). 先看乘積後的第一列: A*u1=U*r1.
由於R為上三角陣, 且對角元為A的特徵值, 所以列向量r1只有第一個元素為c1, 其餘的全為0. 所以上式就可以化為: A*u1=c1*u1. u1為A的特徵值c1所對應的特徵向量, 當然存在, 可以求出來了. 再利用酉矩陣的性質(不同的列向量都正交,且為單位向量, 所以要將u1單位化. 這樣, 得到U的第1列u1.
繼續考察A*u2=U*r2
A*u2=r12*u1+r22*u2=r12*u1+c2*u2.
即: A*u2=r12*u1+c2*u2. 式中含有u2及r12共n+1個變數, 需要n+1個獨立的方程才可解出. 然而, 上式含有n個方程, u1與u2垂直, u2單位長度, 共n+2個條件. 但在上式中, c2為A的特徵值, 所以n個方程並不是相互獨立的. 列出n+2個方程, 剛好可以解出u2與r12.
一般情況,考察A*uk=U*rk
A*uk=U*rk=r1k*u1+r2k*u2+...+r(k-1)k*u(k-1)+rkk*uk
A*uk=r1k*u1+r2k*u2+...+r(k-1)k*u(k-1)+ck*uk
與前面討論類似, 共有uk中的n個變數和rk中的(k-1)個變數(r1k,r2k,...r(k-1)k), rkk=ck為已知的特徵值. 所以共有(n+k-1)個變數. 上面的式子中含有n個方程, 利用u1,u2,...u(k-1)與uk垂直, 可得(k-1)個方程, 再加上uk為單位向量, 共(n+k)個方程, 正好可以解出所有的(n+k-1個)變數.
如此繼續, 直到第n步的A*un=U*rn. 這樣便可以解出所有的rij與uk, 矩陣U與R便可以確定了.
證畢.
注: 1. 若出現重特徵值, 比如ck為m重特徵值, 則按上面方法求出的uk會有m個線性無關的解. 將正交性, 單位長度的條件都用上, 仍可以解出來. 這些向量的求法與高等代數中求若當標準形, 求特徵值特徵向量極為相似.
2. 若A為對稱矩陣, 則R必為對角矩陣, 而且正是A的若當標準形. A=U*R*U(T), 則R=U(T)*A*U, R(T)=R, 上三角形矩陣共軛轉置不變, 則必為對角陣.