一，咱首先說說鴿巢原理的簡單形式：
如果要把n+1個物體放進n個盒子，那麼至少有一個盒子包含兩個或更多的物體。
應用1：給定m個整數a1 , a2 , ……，am，存在滿足 0\leq k< l\leqslant m{\color{Blue} } 的整數 k 和 l，使得_a{k+1}+_a{k+2}+……+_a{l}……+_a{l} 能夠被m整除。通俗的地說，就是在序列a1，a2，……，am中存在連續的a，使得這些a的和能夠被m整除。
證明：考慮m個和
a1,a1+a2,a1+a2+a3,……,a1+a2+a3+...+am
如果這些和當中的任意一個可被m整除，那麼結論就成立。因此，我們可以假設這些和中的每一個除以m都有一個非零餘數，餘數等於1,2，……，m-1 中的一個數。因為有m個和，而只有m-1個餘數，所以必然有兩個和除以m有相同的餘數。因此，存在整數 k和 l，k<l，使得a1+a2+...+ak 和 a1+a2+...+al除以m有相同的餘數r：
a1+a2+...+ak=b*m+r，a1+a2+...+al=c*m+r
二式相減，發現_a{k+1}+_a{k+2}+……+_a{l}...+_a{l}=（c-b）*m，從而_a{k+1}+_a{k+2}+……+_a{l}...+_a{l} 能夠被m整除。
一，咱首先說說鴿巢原理的簡單形式：
如果要把n+1個物體放進n個盒子，那麼至少有一個盒子包含兩個或更多的物體。
應用1：給定m個整數a1 , a2 , ……，am，存在滿足 0\leq k< l\leqslant m{\color{Blue} } 的整數 k 和 l，使得_a{k+1}+_a{k+2}+……+_a{l}……+_a{l} 能夠被m整除。通俗的地說，就是在序列a1，a2，……，am中存在連續的a，使得這些a的和能夠被m整除。
證明：考慮m個和
a1,a1+a2,a1+a2+a3,……,a1+a2+a3+...+am
如果這些和當中的任意一個可被m整除，那麼結論就成立。因此，我們可以假設這些和中的每一個除以m都有一個非零餘數，餘數等於1,2，……，m-1 中的一個數。因為有m個和，而只有m-1個餘數，所以必然有兩個和除以m有相同的餘數。因此，存在整數 k和 l，k<l，使得a1+a2+...+ak 和 a1+a2+...+al除以m有相同的餘數r：
a1+a2+...+ak=b*m+r，a1+a2+...+al=c*m+r
二式相減，發現_a{k+1}+_a{k+2}+……+_a{l}...+_a{l}=（c-b）*m，從而_a{k+1}+_a{k+2}+……+_a{l}...+_a{l} 能夠被m整除。