很久之前看到過這個問題，實數（系）的連續性的確可以這麼表達。先上主要結論：除了確界存在定理（1）是可以很直觀的看出實數的連續性，（2）-（6）似乎與實數連續性很難扯上關係，但是（1）-（6）都反映了實數的完備性，經過證明可知連續性等價於完備性，因此（2）-（6）也反映了實數的連續性。
然後分別回答：
1. 確界存在定理，它的作用很大（其實基本定理的作用都非常大），比如說，利用確界存在定理可以證明有理數不具有連續性，是具有“空隙”的；比如說是極限理論的基礎。那麼，假設有“空隙”（設為a），那麼在數軸上，“空隙”的左邊存在上界，因為，有 ，根據確界存在定理，它必有上確界，但與原假設矛盾。同理，“空隙”的右邊亦如此。因此，沒有“空隙”。我們稱“實數系連續性定理——確界存在定理”。
6. Cauchy收斂原理，也可以用來判斷數列是否收斂，這個原理表明由實數構成的基本數列{xn}必存在實數極限——又稱之為實數系的完備性（實數集合是一個完備空間，而有理數系不是一個完備空間，舉例：{(1+1/n)^n}是一個有理數構成的數列，但它的極限是無理數）——實際上在實數系中，完備性與連續性這兩個概念是等價的。
默默吐槽一句公式真的好難打，我能不打公式就不打公式了！
2. 單調有界定理，可以利用實數系連續性定理——確界存在定理+語言證明，它的作用包括了從數列本身來研究數列的斂散性，可是這跟實數的連續性/完備性有什麼關係？我個人覺得是因為，這個定理是由實數系連續性定理推出的，因此反映了實數的連續性。此外，單調有界並存在極限這一定理在有理數集上是不成立的（見上例），而在實數集上是成立的，其原因也是在於實數的連續性。
3. 閉區間套定理，則是利用了實數系連續定理+單調有界定理證明的，它的作用包括了證明實數集是不可列集。與2同理。
4. 有限覆蓋定理，又稱Heine-Borel定理（下文簡稱H-B定理）。H-B定理就是說，若開區間集S覆蓋閉區間[a,b]，則S中有有限個開區間覆蓋閉區間[a,b]，它可由區間套定理證明。（嗯...暫時不知道要說啥好，感覺前面說的都挺多了）
5. 聚點定理，又稱Bolzano-Weierstrass定理（下文簡稱B-W定理）。首先，我們要明確什麼是聚點，設A是直線上的點集，a是一個定點，若a的任意領域內都含有A的無限多個點，則稱a為點集A的一個聚點。聚點定理可表述為：直線上的有界無窮點集至少有一個聚點。並且，我們還有B-W定理（緻密性定理）——有界數列必有收斂子列。
我們可以由定理1推出2推出3推出4推出5推出6，因此我們說實數系的連續性（定理1）包含了完備性（定理6）；同理，我們可以證明定理6推出3推出1（全部倒推一遍也同樣成立）。兩個結論結合在一起，我們說實數系的連續性等價於實數系的完備性。那麼，在這裡用到的1、2、3、4、5、6自然反映了實數的連續性（定理1）。所以這裡所說的反映實數的連續性，個人認為並不是每一個定理都像確界存在定理一樣可以透過“想象”的，只不過是存在著這樣一種等價命題罷了；同時它們也反映了實數系的完備性，是可以比較好理解的，因為在有理數系中這些定理不成立，而在實數系中這些定理成立了。
最後補充兩個稍微偏題的小知識：
1. 除了定理（1）和（2），其餘定理在R^n依然成立，因此也稱為在歐幾里得空間上的基本定理，也同樣等價。
2. 運用定理（1）證明實數的連續性還應該要用到級數知識，才能得到更為嚴格的證明，Dedekind切割定理也同樣可以闡述並證明實數系的連續性，它是以有理數集合切割為基礎推匯出實屬的連續性，並且可以透過該定理證明定理（1）。在陳紀修老師的《數學分析》一書中有詳細的關於該定理的定義、定理，與（1）類似，比較直觀地闡述了實數系的連續性。
不足之處，請指正=v=
很久之前看到過這個問題，實數（系）的連續性的確可以這麼表達。先上主要結論：除了確界存在定理（1）是可以很直觀的看出實數的連續性，（2）-（6）似乎與實數連續性很難扯上關係，但是（1）-（6）都反映了實數的完備性，經過證明可知連續性等價於完備性，因此（2）-（6）也反映了實數的連續性。
然後分別回答：
1. 確界存在定理，它的作用很大（其實基本定理的作用都非常大），比如說，利用確界存在定理可以證明有理數不具有連續性，是具有“空隙”的；比如說是極限理論的基礎。那麼，假設有“空隙”（設為a），那麼在數軸上，“空隙”的左邊存在上界，因為，有 ，根據確界存在定理，它必有上確界，但與原假設矛盾。同理，“空隙”的右邊亦如此。因此，沒有“空隙”。我們稱“實數系連續性定理——確界存在定理”。
6. Cauchy收斂原理，也可以用來判斷數列是否收斂，這個原理表明由實數構成的基本數列{xn}必存在實數極限——又稱之為實數系的完備性（實數集合是一個完備空間，而有理數系不是一個完備空間，舉例：{(1+1/n)^n}是一個有理數構成的數列，但它的極限是無理數）——實際上在實數系中，完備性與連續性這兩個概念是等價的。
默默吐槽一句公式真的好難打，我能不打公式就不打公式了！
2. 單調有界定理，可以利用實數系連續性定理——確界存在定理+語言證明，它的作用包括了從數列本身來研究數列的斂散性，可是這跟實數的連續性/完備性有什麼關係？我個人覺得是因為，這個定理是由實數系連續性定理推出的，因此反映了實數的連續性。此外，單調有界並存在極限這一定理在有理數集上是不成立的（見上例），而在實數集上是成立的，其原因也是在於實數的連續性。
3. 閉區間套定理，則是利用了實數系連續定理+單調有界定理證明的，它的作用包括了證明實數集是不可列集。與2同理。
4. 有限覆蓋定理，又稱Heine-Borel定理（下文簡稱H-B定理）。H-B定理就是說，若開區間集S覆蓋閉區間[a,b]，則S中有有限個開區間覆蓋閉區間[a,b]，它可由區間套定理證明。（嗯...暫時不知道要說啥好，感覺前面說的都挺多了）
5. 聚點定理，又稱Bolzano-Weierstrass定理（下文簡稱B-W定理）。首先，我們要明確什麼是聚點，設A是直線上的點集，a是一個定點，若a的任意領域內都含有A的無限多個點，則稱a為點集A的一個聚點。聚點定理可表述為：直線上的有界無窮點集至少有一個聚點。並且，我們還有B-W定理（緻密性定理）——有界數列必有收斂子列。
我們可以由定理1推出2推出3推出4推出5推出6，因此我們說實數系的連續性（定理1）包含了完備性（定理6）；同理，我們可以證明定理6推出3推出1（全部倒推一遍也同樣成立）。兩個結論結合在一起，我們說實數系的連續性等價於實數系的完備性。那麼，在這裡用到的1、2、3、4、5、6自然反映了實數的連續性（定理1）。所以這裡所說的反映實數的連續性，個人認為並不是每一個定理都像確界存在定理一樣可以透過“想象”的，只不過是存在著這樣一種等價命題罷了；同時它們也反映了實數系的完備性，是可以比較好理解的，因為在有理數系中這些定理不成立，而在實數系中這些定理成立了。
最後補充兩個稍微偏題的小知識：
1. 除了定理（1）和（2），其餘定理在R^n依然成立，因此也稱為在歐幾里得空間上的基本定理，也同樣等價。
2. 運用定理（1）證明實數的連續性還應該要用到級數知識，才能得到更為嚴格的證明，Dedekind切割定理也同樣可以闡述並證明實數系的連續性，它是以有理數集合切割為基礎推匯出實屬的連續性，並且可以透過該定理證明定理（1）。在陳紀修老師的《數學分析》一書中有詳細的關於該定理的定義、定理，與（1）類似，比較直觀地闡述了實數系的連續性。
不足之處，請指正=v=