容斥原理
在計數時，為了使重疊部分不被重複計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來，然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱為容斥原理。
容斥原理（1）
如果被計數的事物
有a、b兩類，那麼，a類或b類元素個數= a類元素個數+
b類元素個數—既是a類又是b類的元素個數。
例1
一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，並且有4人語、數都是滿分，那麼這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？
分析：依題意，被計數的事物有語、數得滿分兩類，“數學得滿分”稱為“a類元素”，“語文得滿分”稱為“b類元素”，“語、數都是滿分”稱為“既是a類又是b類的元素”，“至少有一門得滿分的同學”稱為“a類或b類元素個數”的總和。
試一試：某班學生每人家裡至少有空調和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調的有41人，有電腦的有34人，二者都有的有27人，這個班有學生多少人？（並說一說你的想法。）
容斥原理（2）
如果被計數的事物有a、b、c三類，那麼，a類或b類或c類元素個數= a類元素個數+
b類元素個數+c類元素個數—既是a類又是b類的元素個數—既是a類又是c類的元素個數—既是b類又是c類的元素個數+既是a類又是b類而且是c類的元素個數。
例2某校六（1）班有學生54人，每人在暑假裡都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有34人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有18人，排球、游泳都參加的有14人，問：三項都參加的有多少人？
分析：仿照例1的分析，你能先說一說嗎？
例3 在1到1000的自然數中，能被3或5整除的數共有多少個？不能被3或5整除的數共有多少個？
分析：顯然，這是一個重複計數問題（當然，如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數，5的倍數）。我們可以把“能被3或5整除的數”分別看成a類元素和b類元素，能“同時被3或5整除的數（15的倍數）”就是被重複計算的數，即“既是a類又是b類的元素”。求的是“a類或b類元素個數”。現在我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。1000÷3=333……1，能被3整除的數有333個（想一想，這是為什麼？）同理，可以求出其他的條件。
例4 分母是1001的最簡分數一共有多少個？
分析：這一題實際上就是找分子中不能整除1001的數。由於1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的數。
例5
某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個專案的測試後，有4名學生在這三個專案上都沒有達到優秀，其餘每人至少有一項達到了優秀，達到了優秀的這部分學生情況如下表：
短跑游泳投擲短跑、游泳短跑、投擲游泳、投擲短路、游泳、投擲
1718156652
求這個班的學生共有多少人？
分析：這個班的學生數，應包括達到優秀和沒有達到優秀的。
試一試：一個班有42人，參加合唱隊的有30人，參加美術組的有25人，有5人什麼都沒有參加，求兩種都參加的有多少人？
例6
在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？
分析：很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎上加1就是段數了。
若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重複的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數的事物有那幾類？每一類的元素個數是多少？
容斥原理
容斥原理
在計數時，為了使重疊部分不被重複計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來，然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱為容斥原理。
容斥原理（1）
如果被計數的事物
有a、b兩類，那麼，a類或b類元素個數= a類元素個數+
b類元素個數—既是a類又是b類的元素個數。
例1
一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，並且有4人語、數都是滿分，那麼這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？
分析：依題意，被計數的事物有語、數得滿分兩類，“數學得滿分”稱為“a類元素”，“語文得滿分”稱為“b類元素”，“語、數都是滿分”稱為“既是a類又是b類的元素”，“至少有一門得滿分的同學”稱為“a類或b類元素個數”的總和。
試一試：某班學生每人家裡至少有空調和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調的有41人，有電腦的有34人，二者都有的有27人，這個班有學生多少人？（並說一說你的想法。）
容斥原理（2）
如果被計數的事物有a、b、c三類，那麼，a類或b類或c類元素個數= a類元素個數+
b類元素個數+c類元素個數—既是a類又是b類的元素個數—既是a類又是c類的元素個數—既是b類又是c類的元素個數+既是a類又是b類而且是c類的元素個數。
例2某校六（1）班有學生54人，每人在暑假裡都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有34人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有18人，排球、游泳都參加的有14人，問：三項都參加的有多少人？
分析：仿照例1的分析，你能先說一說嗎？
例3 在1到1000的自然數中，能被3或5整除的數共有多少個？不能被3或5整除的數共有多少個？
分析：顯然，這是一個重複計數問題（當然，如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數，5的倍數）。我們可以把“能被3或5整除的數”分別看成a類元素和b類元素，能“同時被3或5整除的數（15的倍數）”就是被重複計算的數，即“既是a類又是b類的元素”。求的是“a類或b類元素個數”。現在我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。1000÷3=333……1，能被3整除的數有333個（想一想，這是為什麼？）同理，可以求出其他的條件。
例4 分母是1001的最簡分數一共有多少個？
分析：這一題實際上就是找分子中不能整除1001的數。由於1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的數。
例5
某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個專案的測試後，有4名學生在這三個專案上都沒有達到優秀，其餘每人至少有一項達到了優秀，達到了優秀的這部分學生情況如下表：
短跑游泳投擲短跑、游泳短跑、投擲游泳、投擲短路、游泳、投擲
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求這個班的學生共有多少人？
分析：這個班的學生數，應包括達到優秀和沒有達到優秀的。
試一試：一個班有42人，參加合唱隊的有30人，參加美術組的有25人，有5人什麼都沒有參加，求兩種都參加的有多少人？
例6
在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？
分析：很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎上加1就是段數了。
若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重複的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數的事物有那幾類？每一類的元素個數是多少？