原來的問題是：求一數，三除餘二，五除餘三，七除餘二．這問題太容易回答了，因為三除餘二，七除餘二，則二十一除餘2，而23是三、七除餘二的最小數，剛好又是五除餘三的數．所以心算快的人都能算出．我們還是換一個例子吧！ 我們來試圖解決：三除餘二，五除餘三，七除餘四的問題．我們先介紹以下的笨演算法． 在算盤上先打上(或紙上寫上)2，每次加三，加成五除餘三的時候暫停下來，再在這個數上每次加15，到得出7除餘4的數的時候，就是答數．具體地說：從2加3，再加3得8，即 2，2+3=5，5+3=8， 它是5除餘3的數．然後在8上加15，再加15，第三次加15，得53，即 8，8+15=23，23+15=38，38+15=53． 它是第一個7除餘4的數．53就是解答．經過驗算，正是53，3除餘2，5除餘3，7除餘4． 這方法的道理是什麼？很簡單：先從3除餘2的數中去找5除餘3的數．再從“3除餘2，5除餘3”的數中去找7除餘4的數，如此而已．這方法雖然拙笨些，但這是一個步步能行的方法，是一個值得推薦的、樸素的方法． 但注意，問題的提法是有問題的．不但53有此性質， 53+105=158，158+105=263 都有此性質．確切的提法應當是：求出三除餘二，五除餘三，七除餘四的最小的正整數． 讀者試一下：三除適盡，五除餘二，七除餘四的問題．讀者將發現計算較麻煩了！在練幾次之後便會發現，在計算的過程中從“大”除數出發可能算得快些：先看7， 4，4+7=11，11+7=18，18+7=25，25+7=32． 這是第一個五除餘二的數．再由 32，32+35=67，67+35=102 即得所求． 總之：第一法“3，5，7”法，是從問題本身立刻反映出來的方法．再思考一下，每次加得大，則算得快，因此得第二法“7，5，3”法 由於5的餘數一目瞭解，因而用“7，3，5”法也可能省勁些．總之，先不要以為方法笨，有了方法之後，方法是死的，人是活的．運用之妙，存乎其人． 我們再介紹一個麻煩得多的問題．這也是古代的現成問題，見黃宗憲著的《求一術通解》．原文如次： “今有數不知總；以五累減之無剩，以七百十五累減之剩十，以二百四十七累減之剩一百四十，以三百九十一累減之剩二百四十五，以一百八十七累減之剩一百零九．問總數若干”． 好麻煩的問題．但看兩遍問題之後立刻發現，有竅門在！第一句“以五累減之無剩”是廢話，因為那一個715除餘10的數不是五的倍數．第三句話，因為餘數140是5的倍數，而原數又是五的倍數，因此這句話可以改為“247×5=1235累減之剩140”．同法第四句也可以改為“391×5=1955累減之剩245”． 我們現在從1955除餘245，1235除餘140出發． 245，245+1955=2200，4155，6110，8065，10020， 245， 965，450，1170， 655，140． 下一行是上一行的數除以1235所得的餘數，依次試除，發現10020就是黃宗憲所要求的答案了． 看來煩得可怕，算來不過爾爾．多動動手，多動動腦子，便會熟能生巧． 在楊輝著的《續古摘奇演算法(1275)》上還有以下的例子： “二數餘一，五數餘二，七數餘三，九數餘四，問本數．” 首句與末句合起來是“18除餘13”，再由 13，13+18=31，31+18=49， 49+18=67， 67是五除餘2的數，再由 67，67+5×18=67+90=157， 157就是解答了． 在楊輝的書上還有以下二問： 七數剩一，八數剩二，九數剩三，問本數． 十一數餘三，十二數餘二，十三數餘一，問本數． 讀者請暫勿動手，細看一下！看看能不能不用複雜計算(或就用心算)給出這兩個問題的解答來． 更考慮以下的問題：有n個正整數a1，…，an．求最小的正整數之被a1除餘a1-p，被a2除餘a2-p，…，被an除餘an-p者． 求最小的正整數，被a1除餘l-a1，被a2除餘l-a2，…，被an除餘l-an者． 這兩個題形式上嚇唬人，但實質上與楊輝原來的問題並無太大的差異．
原來的問題是：求一數，三除餘二，五除餘三，七除餘二．這問題太容易回答了，因為三除餘二，七除餘二，則二十一除餘2，而23是三、七除餘二的最小數，剛好又是五除餘三的數．所以心算快的人都能算出．我們還是換一個例子吧！ 我們來試圖解決：三除餘二，五除餘三，七除餘四的問題．我們先介紹以下的笨演算法． 在算盤上先打上(或紙上寫上)2，每次加三，加成五除餘三的時候暫停下來，再在這個數上每次加15，到得出7除餘4的數的時候，就是答數．具體地說：從2加3，再加3得8，即 2，2+3=5，5+3=8， 它是5除餘3的數．然後在8上加15，再加15，第三次加15，得53，即 8，8+15=23，23+15=38，38+15=53． 它是第一個7除餘4的數．53就是解答．經過驗算，正是53，3除餘2，5除餘3，7除餘4． 這方法的道理是什麼？很簡單：先從3除餘2的數中去找5除餘3的數．再從“3除餘2，5除餘3”的數中去找7除餘4的數，如此而已．這方法雖然拙笨些，但這是一個步步能行的方法，是一個值得推薦的、樸素的方法． 但注意，問題的提法是有問題的．不但53有此性質， 53+105=158，158+105=263 都有此性質．確切的提法應當是：求出三除餘二，五除餘三，七除餘四的最小的正整數． 讀者試一下：三除適盡，五除餘二，七除餘四的問題．讀者將發現計算較麻煩了！在練幾次之後便會發現，在計算的過程中從“大”除數出發可能算得快些：先看7， 4，4+7=11，11+7=18，18+7=25，25+7=32． 這是第一個五除餘二的數．再由 32，32+35=67，67+35=102 即得所求． 總之：第一法“3，5，7”法，是從問題本身立刻反映出來的方法．再思考一下，每次加得大，則算得快，因此得第二法“7，5，3”法 由於5的餘數一目瞭解，因而用“7，3，5”法也可能省勁些．總之，先不要以為方法笨，有了方法之後，方法是死的，人是活的．運用之妙，存乎其人． 我們再介紹一個麻煩得多的問題．這也是古代的現成問題，見黃宗憲著的《求一術通解》．原文如次： “今有數不知總；以五累減之無剩，以七百十五累減之剩十，以二百四十七累減之剩一百四十，以三百九十一累減之剩二百四十五，以一百八十七累減之剩一百零九．問總數若干”． 好麻煩的問題．但看兩遍問題之後立刻發現，有竅門在！第一句“以五累減之無剩”是廢話，因為那一個715除餘10的數不是五的倍數．第三句話，因為餘數140是5的倍數，而原數又是五的倍數，因此這句話可以改為“247×5=1235累減之剩140”．同法第四句也可以改為“391×5=1955累減之剩245”． 我們現在從1955除餘245，1235除餘140出發． 245，245+1955=2200，4155，6110，8065，10020， 245， 965，450，1170， 655，140． 下一行是上一行的數除以1235所得的餘數，依次試除，發現10020就是黃宗憲所要求的答案了． 看來煩得可怕，算來不過爾爾．多動動手，多動動腦子，便會熟能生巧． 在楊輝著的《續古摘奇演算法(1275)》上還有以下的例子： “二數餘一，五數餘二，七數餘三，九數餘四，問本數．” 首句與末句合起來是“18除餘13”，再由 13，13+18=31，31+18=49， 49+18=67， 67是五除餘2的數，再由 67，67+5×18=67+90=157， 157就是解答了． 在楊輝的書上還有以下二問： 七數剩一，八數剩二，九數剩三，問本數． 十一數餘三，十二數餘二，十三數餘一，問本數． 讀者請暫勿動手，細看一下！看看能不能不用複雜計算(或就用心算)給出這兩個問題的解答來． 更考慮以下的問題：有n個正整數a1，…，an．求最小的正整數之被a1除餘a1-p，被a2除餘a2-p，…，被an除餘an-p者． 求最小的正整數，被a1除餘l-a1，被a2除餘l-a2，…，被an除餘l-an者． 這兩個題形式上嚇唬人，但實質上與楊輝原來的問題並無太大的差異．