n階矩陣一定有n個特徵值。因為特徵值是特徵多項式的根,n階方陣的特徵多項式是個n次多項式,根據代數基本定理,n次多項式有且只有n個根(重根按重數計算),這些根可能是實數,也可能是複數。

更加詳細的說法為：一個n階矩陣一定有n個特徵值（包括重根），也可能是復根。一個n階實對稱矩陣一定有n個實特徵值（包括重根）。每一個特徵值至少有一個特徵向量（不止一個）。不同特徵值對應特徵向量線性無關。

擴充套件資料：

特徵多項式：

對佈於

上的

矩陣

，特徵多項式為

。這是一個n次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對佈於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。要理解特徵多項式，首先需要了解一下特徵值與特徵向量，這些都是聯絡在一起的：

設A是n階矩陣，如果數λ和n維非零列向量x使得關係式Ax=λx成立，那麼，這樣的數λ就稱為方陣A的特徵值，非零向量x稱為A對應於特徵值λ的特徵向量。

然後，就可以對關係式進行變換：(A-λE)x=0 其中E為單位矩陣。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是係數行列式為0，即|A-λE|=0。帶入具體的數字或者符號，可以看出該式是以λ為未知數的一元n次方程。

稱為方陣A的特徵方程，左端 |A-λE|是λ的n次多項式，也稱為方陣A的特徵多項式。

這是一個n次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對佈於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。

要理解特徵多項式，首先需要了解一下特徵值與特徵向量，這些都是聯絡在一起的：

設A是n階矩陣，如果數λ和n維非零列向量x使得關係式Ax=λx成立，那麼，這樣的數λ就稱為方陣A的特徵值，非零向量x稱為A對應於特徵值λ的特徵向量。

然後，我們也就可以對關係式進行變換：(A-λE)x=0 其中E為單位矩陣。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是係數行列式為0，即|A-λE|=0。帶入具體的數字或者符號，可以看出該式是以λ為未知數的一元n次方程。

故稱為方陣A的特徵方程，左端 |A-λE|是λ的n次多項式，也稱為方陣A的特徵多項式。