可先看結論,見 總結
角角邊(AAS),角邊角(ASA),邊邊邊(SSS),邊角邊(SAS),斜邊直角(HL)
但是沒有邊邊角(SSA)。
SSA 之所以不能證明三角形全等,是因為:當固定長度的兩邊,及固定的一角 構造三角形的時候,三角形不是唯一的,如圖:
與 符合SSA,但顯然這兩個三角形不全等
邊邊角(SSA)就一定不能證明三角形全等嗎,當然不是,其實HL就是SSA,即當三角形是直角三角形時SSA就可用了。
難道SSA就只有這一點用處了嗎,當然也不是了。在對SSA進行探究的時候,會發現對三角形進行一些限制的“特殊”三角形,SSA完全可以證明其全等。
而且,能用SSA的“特殊”三角形並不特殊,就是說大部分三角形都可以運用SSA證明其全等,不能用SSA證明全等的三角形反而是少數。
上圖中SSA不能用,是因為兩邊和一角構造出了兩個不同的三角形。
如果兩邊和一角能構造出唯一的一個三角形,那麼SSA就可以用來證明三角形全等。
我們可以這樣考慮,有兩根木條AO和BO,A點和O點固定在桌面上,這樣木條AO就固定不動了,木條BO是可以繞著O點轉動,然後在桌面上過A點作一條射線,與AO成固定銳角。這樣就有了兩條固定長度的邊(這裡是固定長度,並不是長度相等),和一個固定角度的角。
轉動木條BO,可能會出現上圖的情況,那麼我們更換一根更長的木條BO (木條BO在轉動過程中長度是保持不變的),就可能出現下圖的情況:
顯然構造出了唯一的一個三角形AOB,很明顯我們能看出BO>AO,這時SSA是可用的。
現在縮短木條BO,儘量的縮短,我們會看到這種情況:
顯然這樣是構造不出一個三角形的情況。
但是在這伸長縮短的過程中,我們還會發現兩種特殊的情況:
很明顯這是HL的情形,這也就是前面所說的HL就是SSA,這時SSA是可用的。
若木條BO和木條AO等長的時候,也只能構造唯一的一個三角形,所以在等腰三角形中,SSA是可用的
前面考慮的都是固定角為銳角的情況,現在我們看看固定叫為鈍角的情況。
會有出現這兩種情形:
其一構造不出三角形,這種就不用考慮了。
另一種BO>AO能構造出三角形,而且構造出的三角形具有唯一性,即當固定角為鈍角時,SSA是可用的。
注意:我這裡說的是當固定角為鈍角時,並不是說的鈍角三角形。
從上面圖形情況我們可以直觀的看到當時,SSA是可用的。
固定邊AO=b,BO=a,固定角A=,由余弦定理可得:
a,b,固定已知,o未知,把上式看成是關於o的一元二次方程:
為了看著更習慣,將o換成x,變成關於x的一元二次方程:
要使夠造的三角形唯一,即要求x有唯一正根
若 有唯一根,即
由正弦定理可得:
即 ∠B=
此時SSA是可用的,△AOB是直角三角形
若 有兩個不同根,即
雖然此時有兩根,但如果兩根一正一負(),因為三角形邊長只能為正,所以構造出的三角形仍然是唯一的。
根據韋達定理:
即
a,b為三角形的邊,所以都為正,所以
此時SSA是可用的
如果 (即鈍角),顯然若構成三角形,一定有 ,如圖:
當固定角為鈍角時,SSA是可用的
特別的,若,則一元二次方程變為:
(可排除)
構造出的三角形是唯一的,SSA是可用的,此時△AOB是等腰三角形
ASA,AAS,SSS,SAS等方法證明三角形全等時,針對的三角形是所有三角形。
如果三角形滿足一定條件,邊邊角(SSA)也可用於證明三角形全等。
△AOB,固定兩邊a,b,固定角為∠A=
如果a,b 滿足:,那麼SSA可以用於證明全等。
更特殊的:兩個三角形均為等腰三角形,直角三角形,銳角三角形,SSA都可用於證明其全等。
可先看結論,見 總結
我們知道證明兩個三角形全等的方法有:角角邊(AAS),角邊角(ASA),邊邊邊(SSS),邊角邊(SAS),斜邊直角(HL)
但是沒有邊邊角(SSA)。
SSA 之所以不能證明三角形全等,是因為:當固定長度的兩邊,及固定的一角 構造三角形的時候,三角形不是唯一的,如圖:
與 符合SSA,但顯然這兩個三角形不全等
邊邊角(SSA)就一定不能證明三角形全等嗎,當然不是,其實HL就是SSA,即當三角形是直角三角形時SSA就可用了。
難道SSA就只有這一點用處了嗎,當然也不是了。在對SSA進行探究的時候,會發現對三角形進行一些限制的“特殊”三角形,SSA完全可以證明其全等。
而且,能用SSA的“特殊”三角形並不特殊,就是說大部分三角形都可以運用SSA證明其全等,不能用SSA證明全等的三角形反而是少數。
第一部分 直觀的感受上圖中SSA不能用,是因為兩邊和一角構造出了兩個不同的三角形。
如果兩邊和一角能構造出唯一的一個三角形,那麼SSA就可以用來證明三角形全等。
我們可以這樣考慮,有兩根木條AO和BO,A點和O點固定在桌面上,這樣木條AO就固定不動了,木條BO是可以繞著O點轉動,然後在桌面上過A點作一條射線,與AO成固定銳角。這樣就有了兩條固定長度的邊(這裡是固定長度,並不是長度相等),和一個固定角度的角。
轉動木條BO,可能會出現上圖的情況,那麼我們更換一根更長的木條BO (木條BO在轉動過程中長度是保持不變的),就可能出現下圖的情況:
顯然構造出了唯一的一個三角形AOB,很明顯我們能看出BO>AO,這時SSA是可用的。
現在縮短木條BO,儘量的縮短,我們會看到這種情況:
顯然這樣是構造不出一個三角形的情況。
但是在這伸長縮短的過程中,我們還會發現兩種特殊的情況:
很明顯這是HL的情形,這也就是前面所說的HL就是SSA,這時SSA是可用的。
若木條BO和木條AO等長的時候,也只能構造唯一的一個三角形,所以在等腰三角形中,SSA是可用的
前面考慮的都是固定角為銳角的情況,現在我們看看固定叫為鈍角的情況。
會有出現這兩種情形:
其一構造不出三角形,這種就不用考慮了。
另一種BO>AO能構造出三角形,而且構造出的三角形具有唯一性,即當固定角為鈍角時,SSA是可用的。
注意:我這裡說的是當固定角為鈍角時,並不是說的鈍角三角形。
從上面圖形情況我們可以直觀的看到當時,SSA是可用的。
第二部分 定量的分析固定邊AO=b,BO=a,固定角A=,由余弦定理可得:
a,b,固定已知,o未知,把上式看成是關於o的一元二次方程:
為了看著更習慣,將o換成x,變成關於x的一元二次方程:
要使夠造的三角形唯一,即要求x有唯一正根
若 有唯一根,即
由正弦定理可得:
即 ∠B=
此時SSA是可用的,△AOB是直角三角形
若 有兩個不同根,即
雖然此時有兩根,但如果兩根一正一負(),因為三角形邊長只能為正,所以構造出的三角形仍然是唯一的。
根據韋達定理:
即
a,b為三角形的邊,所以都為正,所以
此時SSA是可用的
如果 (即鈍角),顯然若構成三角形,一定有 ,如圖:
當固定角為鈍角時,SSA是可用的
特別的,若,則一元二次方程變為:
(可排除)
構造出的三角形是唯一的,SSA是可用的,此時△AOB是等腰三角形
總結:ASA,AAS,SSS,SAS等方法證明三角形全等時,針對的三角形是所有三角形。
如果三角形滿足一定條件,邊邊角(SSA)也可用於證明三角形全等。
△AOB,固定兩邊a,b,固定角為∠A=
如果a,b 滿足:,那麼SSA可以用於證明全等。
更特殊的:兩個三角形均為等腰三角形,直角三角形,銳角三角形,SSA都可用於證明其全等。