======2016年6月25日12:37修改我想換一種可能更清晰的方式來敘述題主推理中的問題，並且指出如果題主的推理想成立，需要補充什麼條件。為了說話方便，下面的推理我們只考慮右鄰域和右連續題主推理到：對任意的x∈x0的右側鄰域，在(x0, x)中一定存在一個ξ，使得f"(ξ) = f"(x0)上述結論<=>存在一個嚴格單調遞減的序列{xn}，它以x0為極限，且對於任意的n∈Z，有f"(xn) = f"(x0)=>. 任取x0右側鄰域中的任一點x，那麼就存在ξ，使得f"(ξ) = f"(x0)，設x1 = ξ。假設序列的前(n - 1)項都已經被構造完畢，下面敘述第n項如何被構造。在區間(x0, (x0 + x(n-1)) / 2)中，存在一個ξ < (x0 + x(n-1)) / 2 < x(n-1) 使得f"(ξ) = f"(x0)，取xn = ξ即可。這麼構造的序列一定單調遞減，且一定以x0為極限<=. 由於{xn}嚴格單調遞減且以x0為極限，從極限定義可以推知題主推理出的那個結論成立。題主想推出f"(x)在x0處右連續定理：(函式極限的充要條件，又叫海涅定理) f"(x)在x0處右連續 <=> 對任意的在x0右鄰域內的，以x0為極限的序列{xn}，都有當xn -> x0時，f"(xn)趨於f"(x0)從這兩個充要條件，我們看出題主推理中的問題出現在了想從存在推出任意。但是，我們在正常刷題的時候，卻也經常用到變數替換的技巧，將一個極限替換成另一個極限。比如說，若令t = x - 1，那麼符號lim(x -> 1)顯然等價於符號lim(t -> 0)。這種替換為什麼就不會出錯呢？因為能夠變數替換的基礎是複合函式的連續性。更拓撲的說，變數替換要求用來替換的對映要是一個同胚對映。也就是變數替換這個方法本身就要求著函式連續，甚至想將因變數的極限替換為自變數的極限還需要存在連續反函式。為了說這個問題，我們不妨做個假設(這個假設是不嚴謹的，但是能夠說明問題)，對於x0右側鄰域的任意點x，中值定理給出了一個ξ。我們設這個關係是一個對映，記為ξ = g(x)於是題主的推理過程可以概括為：由 lim(x -> x0) g(x) = x0 ，及f"(g(x)) 恆等於 f"(x0) （於是有 lim(g(x)->x0) f"(g(x)) = f"(x0))，想推出lim(x->x0) f"(x) = f"(x0)概括一下：即已知一個函式g(x)的極限，複合函式f"(g(x))的極限，想推出另一個函式f"(x)的極限。由於f"(x) = f"(g逆(g(x))) 這要求g(x)有連續反函式。有連續反函式在一元的情況下等價於g(x)是單調連續函式。也就是題主上述推理過程如果想成立，就需要補充條件：g(x)在x0的鄰域內是單調連續函式。那麼為什麼教材的那個推理成立呢？因為教材的那個函式 f(x) / g(x) 在 x0 處 有極限A是已知的。洛必達法則只是把這個極限算出來的方法。這種感覺就相當於：我已經知道不管自變數用什麼花樣趨於x0，f(x) / g(x)都是趨於A的，那麼我只要隨便找一個趨於x0的變數ξ來試探一下這個這個A到底是個什麼東西就行了。這個本質是：已知任意成立，我只是想找個存在，來看看A是什麼。======2016年6月25日13:33結束脩改題主定理用的正確。問題的關鍵在於此處的ξ趨於x0的方式有問題。中值定理指出存在性。題主的推理是說：在任意鄰域（設鄰域長度為d）內，存在 這樣的ξ，使ξ的導數等於x0導數，且隨著d趨於0，ξ趨於x0連續要求：鄰域長度d趨於0時， 任意 鄰域中點的導數值要和x0導數充分接近。存在和任意，差很多。但從符號上看，中值定理是ξ趨於x0，連續要求x趨於x0，長得好像一樣，前者怎麼不能推出連續，後者行呢？因為此處，ξ是中值定理給出的，不能自由的取遍整個鄰域，中值定理說的是存在，而不是任意。這就像，中值定理說存在一個子序列{xn}，xn趨於x0，且xn處導函式值恆等於x0的導數值。題主想由此推出對於任意子序列{xn}，若xn趨於x0，那麼xn處導數值所構成的序列就趨於x0處導數值。（函式極限存在的充要條件l
充分性:
設lim(x→x0-)f(x)=a,根據極限的定義
對任意E>0,存在δ>0,當x0-δ
======2016年6月25日12:37修改我想換一種可能更清晰的方式來敘述題主推理中的問題，並且指出如果題主的推理想成立，需要補充什麼條件。為了說話方便，下面的推理我們只考慮右鄰域和右連續題主推理到：對任意的x∈x0的右側鄰域，在(x0, x)中一定存在一個ξ，使得f"(ξ) = f"(x0)上述結論<=>存在一個嚴格單調遞減的序列{xn}，它以x0為極限，且對於任意的n∈Z，有f"(xn) = f"(x0)=>. 任取x0右側鄰域中的任一點x，那麼就存在ξ，使得f"(ξ) = f"(x0)，設x1 = ξ。假設序列的前(n - 1)項都已經被構造完畢，下面敘述第n項如何被構造。在區間(x0, (x0 + x(n-1)) / 2)中，存在一個ξ < (x0 + x(n-1)) / 2 < x(n-1) 使得f"(ξ) = f"(x0)，取xn = ξ即可。這麼構造的序列一定單調遞減，且一定以x0為極限<=. 由於{xn}嚴格單調遞減且以x0為極限，從極限定義可以推知題主推理出的那個結論成立。題主想推出f"(x)在x0處右連續定理：(函式極限的充要條件，又叫海涅定理) f"(x)在x0處右連續 <=> 對任意的在x0右鄰域內的，以x0為極限的序列{xn}，都有當xn -> x0時，f"(xn)趨於f"(x0)從這兩個充要條件，我們看出題主推理中的問題出現在了想從存在推出任意。但是，我們在正常刷題的時候，卻也經常用到變數替換的技巧，將一個極限替換成另一個極限。比如說，若令t = x - 1，那麼符號lim(x -> 1)顯然等價於符號lim(t -> 0)。這種替換為什麼就不會出錯呢？因為能夠變數替換的基礎是複合函式的連續性。更拓撲的說，變數替換要求用來替換的對映要是一個同胚對映。也就是變數替換這個方法本身就要求著函式連續，甚至想將因變數的極限替換為自變數的極限還需要存在連續反函式。為了說這個問題，我們不妨做個假設(這個假設是不嚴謹的，但是能夠說明問題)，對於x0右側鄰域的任意點x，中值定理給出了一個ξ。我們設這個關係是一個對映，記為ξ = g(x)於是題主的推理過程可以概括為：由 lim(x -> x0) g(x) = x0 ，及f"(g(x)) 恆等於 f"(x0) （於是有 lim(g(x)->x0) f"(g(x)) = f"(x0))，想推出lim(x->x0) f"(x) = f"(x0)概括一下：即已知一個函式g(x)的極限，複合函式f"(g(x))的極限，想推出另一個函式f"(x)的極限。由於f"(x) = f"(g逆(g(x))) 這要求g(x)有連續反函式。有連續反函式在一元的情況下等價於g(x)是單調連續函式。也就是題主上述推理過程如果想成立，就需要補充條件：g(x)在x0的鄰域內是單調連續函式。那麼為什麼教材的那個推理成立呢？因為教材的那個函式 f(x) / g(x) 在 x0 處 有極限A是已知的。洛必達法則只是把這個極限算出來的方法。這種感覺就相當於：我已經知道不管自變數用什麼花樣趨於x0，f(x) / g(x)都是趨於A的，那麼我只要隨便找一個趨於x0的變數ξ來試探一下這個這個A到底是個什麼東西就行了。這個本質是：已知任意成立，我只是想找個存在，來看看A是什麼。======2016年6月25日13:33結束脩改題主定理用的正確。問題的關鍵在於此處的ξ趨於x0的方式有問題。中值定理指出存在性。題主的推理是說：在任意鄰域（設鄰域長度為d）內，存在 這樣的ξ，使ξ的導數等於x0導數，且隨著d趨於0，ξ趨於x0連續要求：鄰域長度d趨於0時， 任意 鄰域中點的導數值要和x0導數充分接近。存在和任意，差很多。但從符號上看，中值定理是ξ趨於x0，連續要求x趨於x0，長得好像一樣，前者怎麼不能推出連續，後者行呢？因為此處，ξ是中值定理給出的，不能自由的取遍整個鄰域，中值定理說的是存在，而不是任意。這就像，中值定理說存在一個子序列{xn}，xn趨於x0，且xn處導函式值恆等於x0的導數值。題主想由此推出對於任意子序列{xn}，若xn趨於x0，那麼xn處導數值所構成的序列就趨於x0處導數值。（函式極限存在的充要條件l