性質

①loga(1)=0；

②loga(a)=1；

2對數恆等式

a^logaN=N (a>0 ，a≠1）

3運演算法則

①loga(MN)=logaM+logaN；

②loga(M/N)=logaM－logaN；

如果a=e^m，則m為數a的自然對數，即lna=m，e=2.718281828…為自然對數

的底。定義： 若a^n=b(a>0且a≠1) 則n=log(a)(b)

基本性質：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推導：

1、因為n=log(a)(b)，代入則a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、MN=M×N

由基本性質1(換掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

由指數的性質

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

又因為指數函式是單調函式，所以

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

3、與（2）類似處理 M/N=M÷N

由基本性質1(換掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指數的性質

a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因為指數函式是單調函式，所以

log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

4、與（2）類似處理

M^n=M^n 由基本性質1(換掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指數的性質

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因為指數函式是單調函式，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性質4推廣

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推導如下： 由換底公式（換底公式見下面）[lnx是log(e)(x)，e稱作自然對數的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

換底公式的推導： 設e^x=b^m,e^y=a^n 則log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性質4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由換底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

4換底公式

設b=a^m，a=c^n，則b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

對①取以a為底的對數，有：log(a)(b)=m……………………………..②

注：log(a)(b)表示以a為底x的對數。

換底公式拓展：

以e為底數和以a為底數的公式代換：

logae=1/（lna）

5推導公式

log(1/a)(1/b)=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

6求導數

(xlogax)"=logax+lna

其中，logax中的a為底數，x為真數；

(logax)"=1/xlna

特殊的即a=e時有

(logex)"=(lnx)"=1/x