先說答案吧：

老，是說李耳的職位是天子之師，也就是天師，是直屬周天子的臣子，這是一個重要的近臣職務，故而以“老”稱之。

子，在春秋以前，“子”原為天子所屬的卿的尊稱，如微子、箕子之類。春秋初期只有少數諸侯所屬的卿稱“子”；到春秋中期以後，諸侯的卿就普遍稱“子”；到春秋、戰國之際， “子”便成為著名學者和老師的尊稱，如孔子、墨子之類。到戰國時代，“子”便成為一般學者的尊稱了。

老子，是對李耳身居周王室圖書館館長的尊稱。

《禮記·王制》：“八伯各以其屬，屬於天子之老二人，分天下以為左右，曰二伯。”《注》老謂上公。

有人要說，老子不過就是個圖書管理員罷了，算什麼上公？有人又說，老子之所以是老子，是他天生老像，出生是就鬚髮皆白。

所謂的天生老像，無非是後人穿鑿附會的結果，沒有先秦時期的歷史根據，不可置信。你說老子天生老像，我還說老子善於養生，顯年輕呢。又有什麼依據呢。

我們首先從先秦時期，掌管圖書的皇家圖書館館長是一個什麼職位說起。

在先秦之前，王道這個工具，以及記載王道的國家官學不可外傳，《道德經》中說：“魚不可脫於淵，國之利器不可以示人。”作為周王室圖書館館長的李耳，掌管記載了治理天下方法的文獻典籍，是天子的老師，也就是天師，主要工作有三個：

一是負責守道，掌管皇家圖書館。

二是傳道，負責培養天師接班人。

三是以道輔佐君王，經世濟國。

隨後，周王室內亂，王子朝帶著皇家藏書奔楚，這造成了王官學術失守，典籍流落民間，以至於後面，社會上私學百出，王官之學，下移庶民，變成諸子之學，這是百家爭鳴的學術根源。原本，老百姓都是看不到這些秘藏之書的。

李耳是飽學之士，所居職務的地位，比我們後人通常認為的要高的多。甚至可以說是從太古時期沿襲下來的一個很尊貴的位置。

因而稱“老”，並不為過。

以上就是根據自己的理解所作出的一己之見。

看了幾個天馬行空、雲裡霧裡的解答，我提供一個十分靠譜、也可以讓挑剔的科學達人滿意的答案。簡答即是：老子系李氏家族親血脈後代，過繼給楚國老氏傳續香火，正式隨了老姓以老聃為註冊正式姓名。而“子”是古時對男子的尊稱。

道家神仙譜系，歷來似乎對俗世記載不怎麼看重，動不動就“羽化”或“脫殼”而去！致使連老子這樣重要的華夏文化宗師，也讓後人說不清。連注重實際考察的司馬遷，他應該離老子所處年代不算太遠，作傳時也似乎感到困惑，無法圓轉流暢的講好老子的身世，解釋清各類史籍的自相矛盾之處。

民國時有一股“疑古”的思潮，尤其針對孔孟老莊的聖典，“手術刀”動的很厲害。記得梁啟超就考證出“三個”老子，或者說是戰國以後的人（此說已被考古證偽）。分別是太史詹、老聃（部分資料又稱為老萊子）、李耳，也由於時間跨度太大就認為可能是幾個人，不是一個人。

我後來在翻閱道教資料時，偶爾讀到一本《老子李耳傳》，雖是本文學傳記，但史料性很強，作者明顯對許多問題有大量的考證，特別是吸收當地的口頭傳說，整理推斷解決了大量疑問，我特意重點閱讀了老子出身求學的章節。

書裡提到老子的祖先是靠近陳國（記得如此吧）的楚國地界的當地李姓望族，只是到他父親一代已家道中落，其父好飲酒，在他母親懷了老子之後，還未出生，他父親就因飲酒過度暴病而亡。母親生下他後也不久死去，姓“萊”的一家窮苦人家，得到過李家大戶的接濟，收養了李家的這個孩子，但哺乳養活很困難，打聽到了楚國大將老氏家族，就把這孩子過繼給了他家為後人！抱養孩子，這在現在也是很普遍的事。因此就有有些史料上又稱他“老萊子”，是因他在姓萊的下人家裡生活過。讀這本書，印象很深的還有，提到當時正值春秋末期，周室衰弱，禮崩樂壞，著名大盜“盜蹠”多次橫行鄉里，給青年時期的李耳或老聃留下難以磨滅的烙印，以至使他少年老成。

我的回答應該超出了題主的要求與疑問，去除了一切神話色彩，的確有學術價值，不僅解答了“老”姓來源，也順便解密了“萊”，這個只能被學者們疑惑的費腦筋的細節問題，大家應該十分滿意了吧！我主要也是出於對傳統華夏易道文化的喜愛，願意分享這一知識點，為傳統文化爭話語權！