連續統是實數集的抽象。連續統描述了像實數一樣的稠密，完備（無洞）的性質。

實數集只是一個連續統的例子。當然，實數集也可以說是原型，因為連續統是從實數集推廣出去的。

在某些場合，連續統也可能被用來代指實數集。（可能為了強調其完備性吧）

注意不要跟“連續統的勢（基數）”混淆。（即直觀地看，所謂集合的大小，或者個數）

而且具有連續統基數的集合，未必是連續統。比如無理數與實數等勢，具有連續統基數，但是無理數集可不具有像實數那樣的完備性。

題外：連續統假設

可列集的勢為 。（自然數的個數，整數的個數，平面格點的個數……）

連續統的勢為 ，而且 。（想象任何一個實數可以用無限二進位制表示嘛。當然，嚴格的話，實數的二進位制表示不唯一， 。於是還得構造康託三分集，證明 。然後由康托爾－伯恩斯坦－施羅德定理，得到等勢）

康託對角論證可知， 。（實數是不可數的）

但 是不是大於 的最小的基數呢？即它們之間不存在其它基數？

這個問題的答案未知。連續統假設即 （ 後的第一個基數）。

從ZFC公理出發，它不可證明，亦不可證偽。

連續統是一種集合 。

(1) 是全序集。在 上定義了全序關係（也稱線性序、簡單序等） ，即

定義了 ，其餘的 可以匯出。

（2）稠密性。 的任何兩個元素 之間，必存在其它元素 。即

比如有理數 就滿足稠密性，因為任何兩個數，其中間有個平均數。

（3）完備性（直觀地講，無洞）。（最小上界公理，或上確界原理）任何一個 的非空子集 ，若有上界，則必有上確界。即

這個原理是硬性地規定了上確界不能掉進洞裡，即上確界一定存在。（公理，不需要沒有理由）

此外，最小上界公理有很多等價的論述。比如單調有界原理，也是不讓極限掉進洞裡。