先說結論再證明。
弄明白幾個概念，證明幾個定理，以上結論就顯而易見了。
有理數的概念：可以表示成兩個整數相除的數叫做有理數，否則叫做無理數。
定理1：任意兩個實數x1和x2，如果存在一個正有理數 q 滿足x1=q·x2，那麼f(x1)必定等於f(x2)。(注意：f是題主所說的那一類函式)
證明：正有理數q可以表示為a/b，其中a和b都是正整數。因為x1=q·x2，那麼b·x1=a·x2，則f(x1)=f(b·x1)=f(a·x2)=f(x2)。
定理2：任意給定一個正(負)實數a，集合A={x|x=q·a,q∈Q*}，Q*表示全體正有理數集合，則集合A為正(負)實數集的稠密子集。
稠密的概念：稠密是指集合中任意兩個相鄰元素的距離都是無窮小。稠密集合不一定是連續集合，比如有理數集合是稠密的，但是不連續。比較嚴格的描述為，對於集合A中的任意一個元素x1，和任意一個正實數ε(任意小)，總存在集合A中異於x1的元素x2，使得 | x1 - x2 | ＜ ε，則稱集合A是稠密的。
證明定理2：對於集合A中的任意一個元素 x1，x1可以表示為q1·a，q1為正有理數，a為給定的正(負)實數，則x1都為正(負)實數；對於任意一個正實數ε，都可以表示為α·a，則α是正(負)實數；由於有理數集合是稠密的，則總存在一個正有理數q2，使得 |q1-q2|＜|α| (也就是說q1和q2的距離任意小)，則 |q1-q2|·|a|=|q1·a-q2·a|＜|α|·|a|=|α·a|=ε，令x2=q2·a，則 |x1-x2|＜ε，集合A是正(負)實數集的稠密子集。
定理3：對於定理2定義的集合中的每兩個元素x1,x2∈A，都有f(x1)=f(2)，也就是函式f在A中取值為常數。(從定理1和2容易證得)
由定理2和3可知，函式f在集合A中，對應的影象必定是一條平行於x軸的“稠密虛線”。
定理4：以定理2定義的集合有無數個，這些集合要麼相等，要麼交集為空集。(從定理1很容易證得)
定理5：從定理4所說的集合中，選出所有兩兩不相等的集合，以這些集合為元素組成一個新的集合B，B={A1,A2,...}，集合B與實數集等勢。
等勢的概念：等勢可以理解為兩個集合的元素一樣多，也就是兩個集合的元素能一對一地對應起來。嚴格的描述是，存在集合A到集合B的一一對映，則集合A與集合B等勢。
(定理5證明思路是先證明集合B所有元素的並是實數集，然後證明實數比有理數多得多，有理數的個數叫可數個，實數的個數叫不可數個，然後證明有限個或者可數個可數集的並最多是可數集，不可數個可數集的並才會是不可數集，至此就可以知道集合B的元素個數必定是不可數個，與實數個數一樣多。)
由定理5可知，函式f在實數集中，對應影象是無數條平行於x軸的“稠密虛線”，這些虛線的條數與實數個數相等。
如果所有這些虛線的y軸座標都相等，那組合起來就是一條平行於x軸的實線。
如果所有這些虛線對應的y軸座標有多個，那組合起來就是多條平行於x軸的“稠密虛線”。
如果所有虛線y軸座標都兩兩不相等，且任一個實數都有取值，那就是遍佈整個座標平面處處稠密而不連續的點了。
擴充套件閱讀
定理2其實是一個很有趣的結論，可以推廣到不限正數，任意給定一個非0實數a，集合A={x|x=q·a,q∈Q}，Q表示全體有理數集合，集合A就可以構成一個在有理數數域上的一維線性空間，所有這一類集合的並就是實數集，實數集也可以構成在有理數域上的線性空間，可以證明是無窮維的。
先說結論再證明。
弄明白幾個概念，證明幾個定理，以上結論就顯而易見了。
有理數的概念：可以表示成兩個整數相除的數叫做有理數，否則叫做無理數。
定理1：任意兩個實數x1和x2，如果存在一個正有理數 q 滿足x1=q·x2，那麼f(x1)必定等於f(x2)。(注意：f是題主所說的那一類函式)
證明：正有理數q可以表示為a/b，其中a和b都是正整數。因為x1=q·x2，那麼b·x1=a·x2，則f(x1)=f(b·x1)=f(a·x2)=f(x2)。
定理2：任意給定一個正(負)實數a，集合A={x|x=q·a,q∈Q*}，Q*表示全體正有理數集合，則集合A為正(負)實數集的稠密子集。
稠密的概念：稠密是指集合中任意兩個相鄰元素的距離都是無窮小。稠密集合不一定是連續集合，比如有理數集合是稠密的，但是不連續。比較嚴格的描述為，對於集合A中的任意一個元素x1，和任意一個正實數ε(任意小)，總存在集合A中異於x1的元素x2，使得 | x1 - x2 | ＜ ε，則稱集合A是稠密的。
證明定理2：對於集合A中的任意一個元素 x1，x1可以表示為q1·a，q1為正有理數，a為給定的正(負)實數，則x1都為正(負)實數；對於任意一個正實數ε，都可以表示為α·a，則α是正(負)實數；由於有理數集合是稠密的，則總存在一個正有理數q2，使得 |q1-q2|＜|α| (也就是說q1和q2的距離任意小)，則 |q1-q2|·|a|=|q1·a-q2·a|＜|α|·|a|=|α·a|=ε，令x2=q2·a，則 |x1-x2|＜ε，集合A是正(負)實數集的稠密子集。
定理3：對於定理2定義的集合中的每兩個元素x1,x2∈A，都有f(x1)=f(2)，也就是函式f在A中取值為常數。(從定理1和2容易證得)
由定理2和3可知，函式f在集合A中，對應的影象必定是一條平行於x軸的“稠密虛線”。
定理4：以定理2定義的集合有無數個，這些集合要麼相等，要麼交集為空集。(從定理1很容易證得)
定理5：從定理4所說的集合中，選出所有兩兩不相等的集合，以這些集合為元素組成一個新的集合B，B={A1,A2,...}，集合B與實數集等勢。
等勢的概念：等勢可以理解為兩個集合的元素一樣多，也就是兩個集合的元素能一對一地對應起來。嚴格的描述是，存在集合A到集合B的一一對映，則集合A與集合B等勢。
(定理5證明思路是先證明集合B所有元素的並是實數集，然後證明實數比有理數多得多，有理數的個數叫可數個，實數的個數叫不可數個，然後證明有限個或者可數個可數集的並最多是可數集，不可數個可數集的並才會是不可數集，至此就可以知道集合B的元素個數必定是不可數個，與實數個數一樣多。)
由定理5可知，函式f在實數集中，對應影象是無數條平行於x軸的“稠密虛線”，這些虛線的條數與實數個數相等。
如果所有這些虛線的y軸座標都相等，那組合起來就是一條平行於x軸的實線。
如果所有這些虛線對應的y軸座標有多個，那組合起來就是多條平行於x軸的“稠密虛線”。
如果所有虛線y軸座標都兩兩不相等，且任一個實數都有取值，那就是遍佈整個座標平面處處稠密而不連續的點了。
擴充套件閱讀
定理2其實是一個很有趣的結論，可以推廣到不限正數，任意給定一個非0實數a，集合A={x|x=q·a,q∈Q}，Q表示全體有理數集合，集合A就可以構成一個在有理數數域上的一維線性空間，所有這一類集合的並就是實數集，實數集也可以構成在有理數域上的線性空間，可以證明是無窮維的。