說有理數域對加減乘除都封閉，這句話是沒有問題的，但是有一些細節需要澄清。

數與數之間是可以做運算(operation)的，比如加減乘除都是運算。

由一些陣列成的集合，如果從集合裡面任意拿兩個數做某種運算，得到的結果仍屬於這個集合，就稱這個集合對於該運算是封閉的(closed)。

比如自然數集對加法就是封閉的，而自然數集的減法就不是封閉的。

這個證明比較簡單，我們知道有理數就是可以寫成兩個整數之比的數，那我們可以進行如下運算

上面這4個式子就表明了，任意兩個有理數做加減乘除運算得到的結果仍然還是有理數，因此說有理數集對加減乘除4種運算封閉。而對於這4個運算封閉的集合，我們稱之為域(field)，所以有理數集也稱為有理數域。

這種情況是存在的，而且例子非常多，比如下面兩個非常著名的式子都與尤拉(Euler)有關：

事實上，任意一個無理數都可以，表示成無限多個有理數相加，比如圓周率π：

那麼問題出在哪兒了呢？我們需要搞清一個問題，求和跟求和也是不一樣的。

這樣情況下，我們研究兩種和，一個是有限和(finite sum)，另外一種是無限和(infinite sum)。

有限和顧名思義就是有限多個數相加，如果是n個數相加，我們一般用如下的符號表示：

比如等差數列中大名鼎鼎的首項加尾項乘以項數除以2，其實就是有限和。

而無限和自然就是無限多個數相加，它的符號也可以如下表示：

這就是我們在高等數學裡面學過的無窮級數(infinite series)。

無限和一般是沒法直接計算的，我們需要把它轉化一下，先求出有限和，也叫部分和(partial sum)，然後再讓部分和取一個極限：

而這個和存在不存在，那就由Sn的斂散性決定了。

有限和與無限和是兩個截然不同的概念，使用時要千萬小心注意區分。

那麼題主所問的問題，答案也就非常清楚了。有理數域對加減乘除封閉指的是有限次運算封閉，而不是無限次運算。因此你把無限多個有理數加在一起，它就不一定滿足了，結果就不一定是有理數，有可能就是無理數。

其實關於求和還有第三個層次叫做任意和(arbitrary sum)，它比上面說的無限和還要過分，甚至都無法用正常的連加符號來表示，比如我想把閉區間[0,1]上所有的實數加在一起，該如何表示呢？我們只能藉助如下類似於指標的方法來表示：

這種求和就非常複雜了。它的計算方法是，求出在這個區間內所有有限個數的和的上確界，這需要非常高超的運算技巧和嚴格的數學定義。

我們上面一共討論了三種類型的運算，有限個無限個，和任意個，這三個東西是完全不同的性質也不是通用的，你不能說某個性質對有限運算成立，則它對無限運算也成立。

舉個簡單的例子，集合之間有交集，並集運算。如果兩個集合都是有界的，那它們的並集也是有界的，只需要取那兩個界中最大的那個就可以了。但是無限多個有界數集的並集可不一定是有界的了，比如我把[1,2]，[2,3]，[3,4]，...，這無限多個小區間並起來就是整個非負半軸，它顯然是無界的。

甚至於，對兩個數進行運算所滿足的性質，不一定對三個，或者n個就滿足。你不能有某個性質對兩個數的運算滿足，就天然地認為它對n個數也滿足。通常情況下，我們需要使用數學歸納法來利用兩個推到n個。