在市場風險管理中，我們常常需要估算持有期比較長的風險價值數字(VaR)，而常常在實務中，由於歷史資料的積累的問題，我們無法直接估算這些數字而需要使用較短持有期的VaR進行估算。一個在業界被廣泛接受的轉換公式是這樣的。這個公式提供了一個很方便的在不同持有期間的在險價值之間進行轉換的工具，比如說如果我們需要估算99%置信區間下一年的在險價值，根據這個公式，我們就只需要計算出99%置信區間下1天的在險價值，然後乘以(假設一年中工作日是252天)就可以得到我們想要的數字了。這也是題目中問的根號10的來源了。

那麼問題來了，我們為什麼可以做這個轉換，做這個轉換的依據是什麼？

根號t規則的來源來自關於隨機變數 （在這裡是交易組合的每日損益）是服從獨立分佈的正態分佈假設，在這樣假設下，我們可以直接運用正態分佈隨機變數的性質即多個獨立分佈的正態變數的簡單加總依然服從正態分佈這一規律。(請參考 @liu mohan 的答案)

但是很顯然，大部分情況下，很難證明每日損益是正態分佈的。

我們不妨放寬一下假設，不再假設每日損益服從正態分佈，而僅假設每日損益服從一個穩定的分佈(stable distribution)，所謂x服從一個穩定分佈，是指我們假設：

其中 為持有期為t的隨機變數分佈。。

可以看出，正態分佈是此類分佈的一個特例，在正態分佈的情況下，b=0.5。

我們可以構造一個方法，透過時間序列資料來估算這個b值的大小。比方說，如果對上式兩邊都取對數，我們可以得到

這個公式給了我們一個線性迴歸方程，我們可以用這個來估計b值的大小。

具體做法是，獲得某個風險因子，或者某個交易臺每日損益的歷史變動資料，然後選取一定的時間步長，利用歷史模擬法計算出每個時間步長下的VaR值記為 。那麼根據以上公式，應有

隨後即可使用最小二乘法估計b值大小。

運用此方法分析從2006年10月8日到2014年底的shibor3m資料，b值大約穩定在0.68左右(見下圖1）。而若用同樣的方法分析從2006年到2014年的人民幣對美元匯率，b值大約為0.59左右（見下圖2）。從這些分析來看，對於中國市場而言，使用根號t來進行不同持有期的轉換可能有失謹慎（低估了風險價值）。更合適的做法是使用以下公式進行轉換：

其中b的取值需要根據主要風險因子來進行調整，在這個分析裡，我們發現如果主要的風險因子是Shibor1M，合適的取值大概是0.68左右。而如果風險因子主要是外匯，合適的取值大概是0.59左右。

主要參考文獻

Alexander, C. (2008) Market Risk Analysis, Volume IV: Value at Risk Models. Wiley

文中用到的excel檔案可在以下地址下載

為什麼我們可以使用根號t進行不同持有期間之間的轉換？