最根本地，理論力學說明了正確的理論可以有不同的形式。對於力學系統的演化，你既可以說由mathbf{F}=mmathbf{a}決定，也可以說是由（上面兩個之中的某一個）最小作用量原理決定的。這雖然看起來千差萬別，但無可辯駁地完全等價。事實上，如果我們做一些數學上的準備，我們很容易可以從Lagrange方程出發，來證明mathbf{F}=mmathbf{a}和最小作用量原理等價。如果你夠仔細的話，甚至發現理論力學裡連力的概念都沒有引入。這也告訴我們，不僅規律的描述可能千差萬別，還有可能在某個理論體系裡所定義的量，在另一個體系裡就是沒有必要的。 然後，理論力學解決問題有著固定的步驟。顯然從上面的敘述中可以看出，你不必費事就可以得到系統的運動方程，因為事實上系統的勢能和動能函式是不難獲得的。牛頓力學裡，你又是還需要十分的洞察力才能把每個粒子的牛頓運動方程化簡成完全相互獨立的常微分方程。 其次，理論力學很好的處理了約束。如果你曾經用mathbf{F}=mmathbf{a}來解決一些複雜體系的力學問題，你就會發現過程有多麼的不堪。比如，如果我們要研究平面n節混沌擺（簡潔起見，擺是由輕杆和安裝在鉸鏈處的重小球組成的），我們發現系統的自由度是n ，那麼我們就可以選取n 個擺的鉛錘角( heta_1, heta_2,cdots, heta_n)作為廣義座標，並且迅速地給出系統的Lagrangian，並且列出( heta_1, heta_2,cdots, heta_n)的微分方程。然而同樣的目的，用mathbf{F}=mmathbf{a}幾乎是不可能達到的（你會受到很多約束力的阻礙）。原因在於理論力學很好的處理了約束力的概念，不同於牛頓力學依賴“應運而生”的約束力力來約束物體，理論力學認為約束是減小了系統的自由度（也就是減小了系統實際可以執行的位形空間的維度）。這樣一來就避免了牛頓體系中對於約束力的複雜的消去過程。 還有，理論力學便於發現守恆量。 在Lagrange體系中，我們做一定的數學推導便可以證明Noether定理：如果對描述體系L(q,overset{.}{q};t)的廣義座標做一個（非退化的） 的單引數變換Q_k=Q_k(q;t;epsilon)，在這樣的變換下，如果系統的Lagrangian滿足L_epsilon(q,overset{.}{q};t)overset{ ext{d}}{=}L(Q(q;t;epsilon),overset{.}{Q}(q,overset{.}{q};t;epsilon);t)=L(q,overset{.}{q};t)+dfrac{mathrm{d}F(q;t;epsilon)}{mathrm{d}t}，那麼這標誌著體系會擁有一個守恆量Gamma(q,overset{.}{q};t)=sum_{k=1}^{s}dfrac{partial L}{partial overset{.}{q_k}}left(dfrac{partial Q_k}{partial epsilon} ight)_{epsilon=0}-left(dfrac{partial F}{partial epsilon} ight)_{epsilon=0}。這個定理說明了在力學體系裡，如果系統的某種對稱性被一個座標變換反映出來了，那麼這個系統就可以找到一個守恆量。這是非常抽象並且深刻的洞見（你在牛頓體系裡也可以透過分析一些對稱性來獲得守恆量，但是Lagrange體系下，這樣做方便很多），知道現在“對稱性－守恆量”的對應，仍然是發現物理規律的靈感來源之一。 在Hamilton體系裡，獲得守恆量更為方便。

在我看來，分析力學最大的好處是可以提出了一套以哈密頓原理為基礎來建立一系列力學體系的方法，因此它不僅僅適用於經典力學，包括經典電動力學，統計力學，量子力學和以及一些近代物理理論也可以此方法來建立。所謂第一類Lagrange方程是用直角座標表示的動力學普遍方程與用k個未定乘子和直角座標表示的k個約束方程(包括微分約束)相結合而成的方程。這組方程可以解決用直角座標描述的動力學問題和非完整系統的動力學問題。此方程還可變換成廣義座標表示的費勒斯方程，以求解一般包含線性速度約束的非完整系統的動力學問題。由於此方程隨約束的增加而變得複雜，顯示不出分析力學的優越性，故在一般的教材或專著中很少提及。按照題主的意思，關於約束理論，我推薦一本書：《分析動力學》 陳濱 編著這本書對於約束理論的介紹比較全面而系統。而關於分析力學的著作更是不少，在此列舉幾本：《力學》 L.D.Landau&E.M.Lifshitz 著《經典力學》(Classical Mechanics) H.Goldstein等 著《經典力學的數學方法》(Mathematical Methods of Classical Mechanics) V.I.Arnold 著《古典力學》 吳大猷 著