彈性力學中常用的數學方法可分分成兩類：
①精確解法 包括分離變數法和彈性力學的複變函式方法。彈性力學中的許多精確解是用分離變數法求得的。其步驟大致如下：根據物體的形狀，選擇一種合適的曲線座標系，並寫出相應於該座標系的彈性力學微分方程和邊界條件，如果微分方程中的變數能夠分離，通常便可求得問題的解。能用分離變數法求得精確解的問題有：無限和半無限體的問題，球體和球殼的問題，橢球腔的問題，圓柱和圓盤的問題等。
對於能化為平面調和函式或平面雙調和函式的問題，複變函式方法是一個有效的求解工具《柱體的扭轉和彎曲問題、平面應變和平面應力問題以及薄板彎曲問題中的許多重要精確解都是用複變函式法求得的。
②近似解法 為求解一些複雜的問題，在彈性力學中還發展了許多近似解法，能量法就是其中用得最多的一類方法，它把彈性力學問題化為數學中的變分問題（泛函的極值和駐值問題），然後再用瑞利-里茲法求近似解。能量法的內容很豐富，適應性很強。工程界當前廣泛使用的有限元法是能量法的一種新發展。差分法也是一種常用的近似解法，其要點是用差商近似地代替微商，從而把原有的微分方程近似地化為代數方程。此外，邊界積分方程、邊界元法和加權殘數法對解決某些問題也是有效的手段。
數學彈性力學的典型問題 有以下幾類：
①一般性理論 它探討解的共性和一般性的求解方法。一般性理論中，最核心的部分是能量原理（定理），包括虛功原理（虛位移原理、虛應力原理）、功的互等定理、最小勢能原理、最小余能原理、赫林格-瑞斯納二類變數廣義變分原理和胡海昌-鷲津久一郎三類變數廣義變分原理等。解的存在性、唯一性、解析性、平均值定理以及近似解的收斂性等，也都和能量原理有密切聯絡。這些一般性理論，是建立各種近似解法和建立工程結構實用理論的依據。
一般性理論的另一重要方面是未知函式的歸併理論，其主要內容是將彈性力學問題歸為求解少數幾個函式，這些函式常稱為應力函式和位移函式。
②柱體扭轉和彎曲 一個側面不受外力的細長柱體，在兩端面上的外力作用下會產生扭轉和彎曲。根據聖維南原理，柱體中間部分的應力狀態只與作用在端面上載荷的合力和合力矩有關，而與載荷的具體分佈無關。因此，柱體中間部分的應力有以下的表示式：
這裡的x、y軸為橫截面的兩個主軸；z軸平行於柱體的母線；為應力分量，A為橫截面的面積；Ix和Iy為橫截面對x軸和y軸的慣性矩（見截面的幾何性質）；N、Mx和My分別為作用在截面上的軸向合力、對x軸和y軸的彎矩。彎矩Mx、My是座標z的線性函式，可用材料力學的方法求得。式（11）給出的與材料力學的解相同，但給出的剪應力比材料力學的結果精確。決定的問題最後可歸為求解一個平面調和函式的邊值問題。
平面應力問題適用於薄板。若在薄板的兩個表面上無外力，而在側面上有沿厚度均勻分佈的載荷（圖1），則薄板中的位移和應力有如下特點：
且以及x、y方向的位移u、v都與座標z無關。對於各向同性材料，上述五個不等於零的量可以用一個應力函式φ（x，y）（艾裡應力函式）表示為：
而應力函式φ是一個平面雙調和函式，即
平面應變問題適用於長柱體的中間部分。若柱體的兩端面固定不動，而作用在側面上的載荷和座標z無關，且合力及合力矩等於零（圖2），則柱體中間部分的應力和位移有如下特點：
縱向位移ω=0，且、u、v與座標z無關。對於各向同性的材料，上述五個不等於零的量也可用一個雙調和函式φ表示為公式（13），不過須將其中的E和v分別代以
④變截面軸扭轉變截面軸受扭時，在截面的過渡區（圖3）常有應力集中現象。分析這類問題以取圓柱座標系（r，θ，z）為方便。在圓柱座標系中的位移分量和應力分量分別記為u、v、w和
這類問題的力學特點是： u=w=0和
v、和與座標z無關。上述不等於零的兩個剪應力和可用一個應力函式（r，z）表示為：
而滿足下列偏微分方程：
這類問題最後歸為方程（15）的邊值問題。
⑤迴轉體的軸對稱變形各向同性的迴轉體在軸對稱載荷作用下，必然產生軸對稱的變形。在圓柱座標系（r，θ，z）中，軸對稱變形的特點是：v=0，=，且u、w、、、和與座標θ無關。上述不等於零的六個量，可以用一個位移函式（x，y）表示為：
其中△是軸對稱的拉昔拉斯算符，即
而是軸對稱的雙調和函式，即
⑥工程結構元件的實用理論 從廣義上說，各種工程結構元件的實用理論（如杆、板、殼的實用理論）都是彈性力學的特殊分支，而且是最有實用價值的分支。這些實用理論分別依據結構元件形狀及其受力的特點，對位移分佈作一些合理的簡化假設，對廣義胡克定律也作相應的簡化。這樣，就能使數學方程既得到充分簡化又保留了主要的力學特性。從彈性力學看，這些結構元件的實用理論都是近似理論，其近似性大多表現為按照這些理論計算得到的應力和應變不能嚴格滿足胡克定律。
彈性力學中常用的數學方法可分分成兩類：
①精確解法 包括分離變數法和彈性力學的複變函式方法。彈性力學中的許多精確解是用分離變數法求得的。其步驟大致如下：根據物體的形狀，選擇一種合適的曲線座標系，並寫出相應於該座標系的彈性力學微分方程和邊界條件，如果微分方程中的變數能夠分離，通常便可求得問題的解。能用分離變數法求得精確解的問題有：無限和半無限體的問題，球體和球殼的問題，橢球腔的問題，圓柱和圓盤的問題等。
對於能化為平面調和函式或平面雙調和函式的問題，複變函式方法是一個有效的求解工具《柱體的扭轉和彎曲問題、平面應變和平面應力問題以及薄板彎曲問題中的許多重要精確解都是用複變函式法求得的。
②近似解法 為求解一些複雜的問題，在彈性力學中還發展了許多近似解法，能量法就是其中用得最多的一類方法，它把彈性力學問題化為數學中的變分問題（泛函的極值和駐值問題），然後再用瑞利-里茲法求近似解。能量法的內容很豐富，適應性很強。工程界當前廣泛使用的有限元法是能量法的一種新發展。差分法也是一種常用的近似解法，其要點是用差商近似地代替微商，從而把原有的微分方程近似地化為代數方程。此外，邊界積分方程、邊界元法和加權殘數法對解決某些問題也是有效的手段。
數學彈性力學的典型問題 有以下幾類：
①一般性理論 它探討解的共性和一般性的求解方法。一般性理論中，最核心的部分是能量原理（定理），包括虛功原理（虛位移原理、虛應力原理）、功的互等定理、最小勢能原理、最小余能原理、赫林格-瑞斯納二類變數廣義變分原理和胡海昌-鷲津久一郎三類變數廣義變分原理等。解的存在性、唯一性、解析性、平均值定理以及近似解的收斂性等，也都和能量原理有密切聯絡。這些一般性理論，是建立各種近似解法和建立工程結構實用理論的依據。
一般性理論的另一重要方面是未知函式的歸併理論，其主要內容是將彈性力學問題歸為求解少數幾個函式，這些函式常稱為應力函式和位移函式。
②柱體扭轉和彎曲 一個側面不受外力的細長柱體，在兩端面上的外力作用下會產生扭轉和彎曲。根據聖維南原理，柱體中間部分的應力狀態只與作用在端面上載荷的合力和合力矩有關，而與載荷的具體分佈無關。因此，柱體中間部分的應力有以下的表示式：
這裡的x、y軸為橫截面的兩個主軸；z軸平行於柱體的母線；為應力分量，A為橫截面的面積；Ix和Iy為橫截面對x軸和y軸的慣性矩（見截面的幾何性質）；N、Mx和My分別為作用在截面上的軸向合力、對x軸和y軸的彎矩。彎矩Mx、My是座標z的線性函式，可用材料力學的方法求得。式（11）給出的與材料力學的解相同，但給出的剪應力比材料力學的結果精確。決定的問題最後可歸為求解一個平面調和函式的邊值問題。
平面應力問題適用於薄板。若在薄板的兩個表面上無外力，而在側面上有沿厚度均勻分佈的載荷（圖1），則薄板中的位移和應力有如下特點：
且以及x、y方向的位移u、v都與座標z無關。對於各向同性材料，上述五個不等於零的量可以用一個應力函式φ（x，y）（艾裡應力函式）表示為：
而應力函式φ是一個平面雙調和函式，即
平面應變問題適用於長柱體的中間部分。若柱體的兩端面固定不動，而作用在側面上的載荷和座標z無關，且合力及合力矩等於零（圖2），則柱體中間部分的應力和位移有如下特點：
縱向位移ω=0，且、u、v與座標z無關。對於各向同性的材料，上述五個不等於零的量也可用一個雙調和函式φ表示為公式（13），不過須將其中的E和v分別代以
④變截面軸扭轉變截面軸受扭時，在截面的過渡區（圖3）常有應力集中現象。分析這類問題以取圓柱座標系（r，θ，z）為方便。在圓柱座標系中的位移分量和應力分量分別記為u、v、w和
這類問題的力學特點是： u=w=0和
v、和與座標z無關。上述不等於零的兩個剪應力和可用一個應力函式（r，z）表示為：
而滿足下列偏微分方程：
這類問題最後歸為方程（15）的邊值問題。
⑤迴轉體的軸對稱變形各向同性的迴轉體在軸對稱載荷作用下，必然產生軸對稱的變形。在圓柱座標系（r，θ，z）中，軸對稱變形的特點是：v=0，=，且u、w、、、和與座標θ無關。上述不等於零的六個量，可以用一個位移函式（x，y）表示為：
其中△是軸對稱的拉昔拉斯算符，即
而是軸對稱的雙調和函式，即
⑥工程結構元件的實用理論 從廣義上說，各種工程結構元件的實用理論（如杆、板、殼的實用理論）都是彈性力學的特殊分支，而且是最有實用價值的分支。這些實用理論分別依據結構元件形狀及其受力的特點，對位移分佈作一些合理的簡化假設，對廣義胡克定律也作相應的簡化。這樣，就能使數學方程既得到充分簡化又保留了主要的力學特性。從彈性力學看，這些結構元件的實用理論都是近似理論，其近似性大多表現為按照這些理論計算得到的應力和應變不能嚴格滿足胡克定律。