一． “什麼是數學？”數學本身是一個歷史的概念，數學的內涵隨著時代的變化而變化，給數學下一個一勞永逸的定義是不可能的。我們在這裡就從歷史的角度來談談“什麼是數學”這個問題。公元前6世紀前，數學主要是關於“數”的研究。這一時期在古埃及、巴比倫、印度與中國等地區發展起來的數學，主要是計數、初等算術與演算法，幾何學則可以看作是應用算術。從公元前6世紀開始，希臘數學的興起，突出了對“形”的研究。數學於是成為了關於數與形的研究。公元前4世紀的希臘哲學家亞里士多德將數學定義為“數學是量的科學。”（其中“量”的涵義是模糊的，不能單純理解為“數量”。）直到16世紀，英國哲學家培根將數學分為“純粹數學”與“混合數學”。在17世紀，笛卡兒認為：“凡是以研究順序和度量為目的科學都與數學有關。”在19世紀，根據恩格斯的論述， 數學可以定義為：“數學是研究現實世界的空間形式與數量關係的科學。”從20世紀80年代開始，學者們將數學簡單的定義為關於“模式”的科學：“數學這個領域已被稱為模式的科學， 其目的是要揭示人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性。” 二．數與形的概念的產生 人類在矇昧時代就已具有識別事物多寡的能力。原始人在採集、狩獵等生產活動中首先注意到一隻羊與許多羊、一頭狼與整群狼在數量上的差異。透過一隻羊與許多羊、一頭狼與整群狼的比較，就逐漸看到了一隻羊、一頭狼、一條魚、一棵樹等等之間存在著某種共通的東西（即它們的單位性）。當對數的認識變得越來越明確時，人們感到有必要以某種方式來表達事物的這一屬性，於是導致了記數。 古代的記數方法：1. 手指計數：利用兩隻手的十個手指。亞里士多德指出：十進位制的廣泛採用，只不過是我們絕大多數人生來具有10個手指這一事實的結果。2. 石子記數：在地上擺小石子，但記數的石子堆很難長久儲存。3. 結繩記數：在一根繩子上打結來表示事物的多少。比如今天獵到五頭羊，就以在繩子上打五個結來表示；約定三天後再見面，就在繩子上打三個結，過一天解一個結；等等。秘魯的印加族人（印第安人中的一部分）古時（公元前1500年前）每收進一捆莊稼，就在繩上打個結，用來記錄收穫的多少。中國古代文獻《周易 繫辭下》有“上古結繩而治”之說。“結繩而治”即結繩記數或結繩記事。結繩記數這種方法，不但在遠古時候使用，而且一直在某些民族中沿用下來。宋朝人在一本書中說：“韃靼無文字，每調發軍馬，即結草為約，使人傳達，急於星火。”這是用結草來調發軍馬，傳達要調的人數。其他如藏族、彝族等，雖都有文字，但在一般不識字的人中間都還長期使用這種方法。中央民族大學就收藏著一副高山族的結繩，由兩條繩子組成：每條上有兩個結，再把兩條繩結在一起。4. 刻痕記數：1937年在維斯托尼斯（摩拉維亞）發現一根40萬年前的幼狼前肢骨，7英寸長，上面有55道很深的刻痕。這是已發現的用刻痕方法計數的最早資料。直到今天，在歐、亞、非大陸的某些地方，仍然有一些牧人用在棒上刻痕的方法來計算他們的牲畜。 直到距今大約五千年前，終於出現了書寫記數以及相應的記數系統。我們介紹幾種古老文明的早期記數系統。（按時代順序）1. 古埃及的象形數字（公元前3400年左右）2. 巴比倫楔形文字（公元前2400年左右）3. 中國甲骨文數字（公元前1600年左右）4. 希臘阿提卡數字（公元前500年左右）5. 中國籌算數碼（公元前500年左右）6. 印度婆羅門數字（公元前300年左右）7. 瑪雅數字（？） 而我們現代廣泛使用的是阿拉伯數字。其實，這些阿拉伯數字並不是阿拉伯人發明創造的，而是發源於古印度，後來被阿拉伯人掌握、改進，並傳到了西方，西方人便將這些數字稱為阿拉伯數字。以後，以訛傳訛，世界各地都認同了這個說法。與數的概念形成一樣，人類最初的幾何知識也是他們從對形的直覺中萌發出來的，例如，不同種族的人都注意到了圓月和挺拔的松樹在形象上的區別。幾何學便是建立在對這類從自然界提取出來的“形”的總結的基礎之上。例如，一個平面只不過是一片平地的表面，而一條直線則是拉緊了的一段繩子，來自希臘文的英文Hypotenuse（斜邊、弦）原先的意思就是“拉緊”。同樣，三角形、圓、正方形、長方形等一系列幾何形式的概念也來自於人們的觀察和實踐。在不同的地區，幾何學的這種實踐來源方向不盡相同。1. 古埃及幾何學：正如古羅馬歷史學家希羅多德所指出的，埃及的幾何學是“尼羅河的饋贈”。一年一度的尼羅河洪水沖毀了某個人的土地，那麼他就必須向法老報告所受的損失。法老會派專人來測量所失去的土地，再按相應的比例減稅。這樣一來，幾何學就產生並發展起來了。這類專門負責測量事物的人有專門的名稱，叫做“司繩”。2. 巴比倫人的幾何學：也是源於實際的測量，它的重要特徵是其算術性質，至少在公元前1600年，他們就已熟悉長方形、直角三角形和等腰三角形和某些梯形的面積計算。3. 古印度幾何學：起源與宗教實踐密切相關，公元前8世紀至5世紀形成的所謂“繩法經”，便是關於祭壇與寺廟建造中的幾何問題及其求解法則的記載。 4. 古代中國幾何學：起源更多地與天文觀測相聯絡。中國最早的數學經典《周髀算經》（至晚在公元前2世紀成書）事實上是一部討論西周初年天文測量中所用數學方法的著作。
一． “什麼是數學？”數學本身是一個歷史的概念，數學的內涵隨著時代的變化而變化，給數學下一個一勞永逸的定義是不可能的。我們在這裡就從歷史的角度來談談“什麼是數學”這個問題。公元前6世紀前，數學主要是關於“數”的研究。這一時期在古埃及、巴比倫、印度與中國等地區發展起來的數學，主要是計數、初等算術與演算法，幾何學則可以看作是應用算術。從公元前6世紀開始，希臘數學的興起，突出了對“形”的研究。數學於是成為了關於數與形的研究。公元前4世紀的希臘哲學家亞里士多德將數學定義為“數學是量的科學。”（其中“量”的涵義是模糊的，不能單純理解為“數量”。）直到16世紀，英國哲學家培根將數學分為“純粹數學”與“混合數學”。在17世紀，笛卡兒認為：“凡是以研究順序和度量為目的科學都與數學有關。”在19世紀，根據恩格斯的論述， 數學可以定義為：“數學是研究現實世界的空間形式與數量關係的科學。”從20世紀80年代開始，學者們將數學簡單的定義為關於“模式”的科學：“數學這個領域已被稱為模式的科學， 其目的是要揭示人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性。” 二．數與形的概念的產生 人類在矇昧時代就已具有識別事物多寡的能力。原始人在採集、狩獵等生產活動中首先注意到一隻羊與許多羊、一頭狼與整群狼在數量上的差異。透過一隻羊與許多羊、一頭狼與整群狼的比較，就逐漸看到了一隻羊、一頭狼、一條魚、一棵樹等等之間存在著某種共通的東西（即它們的單位性）。當對數的認識變得越來越明確時，人們感到有必要以某種方式來表達事物的這一屬性，於是導致了記數。 古代的記數方法：1. 手指計數：利用兩隻手的十個手指。亞里士多德指出：十進位制的廣泛採用，只不過是我們絕大多數人生來具有10個手指這一事實的結果。2. 石子記數：在地上擺小石子，但記數的石子堆很難長久儲存。3. 結繩記數：在一根繩子上打結來表示事物的多少。比如今天獵到五頭羊，就以在繩子上打五個結來表示；約定三天後再見面，就在繩子上打三個結，過一天解一個結；等等。秘魯的印加族人（印第安人中的一部分）古時（公元前1500年前）每收進一捆莊稼，就在繩上打個結，用來記錄收穫的多少。中國古代文獻《周易 繫辭下》有“上古結繩而治”之說。“結繩而治”即結繩記數或結繩記事。結繩記數這種方法，不但在遠古時候使用，而且一直在某些民族中沿用下來。宋朝人在一本書中說：“韃靼無文字，每調發軍馬，即結草為約，使人傳達，急於星火。”這是用結草來調發軍馬，傳達要調的人數。其他如藏族、彝族等，雖都有文字，但在一般不識字的人中間都還長期使用這種方法。中央民族大學就收藏著一副高山族的結繩，由兩條繩子組成：每條上有兩個結，再把兩條繩結在一起。4. 刻痕記數：1937年在維斯托尼斯（摩拉維亞）發現一根40萬年前的幼狼前肢骨，7英寸長，上面有55道很深的刻痕。這是已發現的用刻痕方法計數的最早資料。直到今天，在歐、亞、非大陸的某些地方，仍然有一些牧人用在棒上刻痕的方法來計算他們的牲畜。 直到距今大約五千年前，終於出現了書寫記數以及相應的記數系統。我們介紹幾種古老文明的早期記數系統。（按時代順序）1. 古埃及的象形數字（公元前3400年左右）2. 巴比倫楔形文字（公元前2400年左右）3. 中國甲骨文數字（公元前1600年左右）4. 希臘阿提卡數字（公元前500年左右）5. 中國籌算數碼（公元前500年左右）6. 印度婆羅門數字（公元前300年左右）7. 瑪雅數字（？） 而我們現代廣泛使用的是阿拉伯數字。其實，這些阿拉伯數字並不是阿拉伯人發明創造的，而是發源於古印度，後來被阿拉伯人掌握、改進，並傳到了西方，西方人便將這些數字稱為阿拉伯數字。以後，以訛傳訛，世界各地都認同了這個說法。與數的概念形成一樣，人類最初的幾何知識也是他們從對形的直覺中萌發出來的，例如，不同種族的人都注意到了圓月和挺拔的松樹在形象上的區別。幾何學便是建立在對這類從自然界提取出來的“形”的總結的基礎之上。例如，一個平面只不過是一片平地的表面，而一條直線則是拉緊了的一段繩子，來自希臘文的英文Hypotenuse（斜邊、弦）原先的意思就是“拉緊”。同樣，三角形、圓、正方形、長方形等一系列幾何形式的概念也來自於人們的觀察和實踐。在不同的地區，幾何學的這種實踐來源方向不盡相同。1. 古埃及幾何學：正如古羅馬歷史學家希羅多德所指出的，埃及的幾何學是“尼羅河的饋贈”。一年一度的尼羅河洪水沖毀了某個人的土地，那麼他就必須向法老報告所受的損失。法老會派專人來測量所失去的土地，再按相應的比例減稅。這樣一來，幾何學就產生並發展起來了。這類專門負責測量事物的人有專門的名稱，叫做“司繩”。2. 巴比倫人的幾何學：也是源於實際的測量，它的重要特徵是其算術性質，至少在公元前1600年，他們就已熟悉長方形、直角三角形和等腰三角形和某些梯形的面積計算。3. 古印度幾何學：起源與宗教實踐密切相關，公元前8世紀至5世紀形成的所謂“繩法經”，便是關於祭壇與寺廟建造中的幾何問題及其求解法則的記載。 4. 古代中國幾何學：起源更多地與天文觀測相聯絡。中國最早的數學經典《周髀算經》（至晚在公元前2世紀成書）事實上是一部討論西周初年天文測量中所用數學方法的著作。