在數學的學習過程中，經常性的出現“有意義”這一說法。那到底什麼是有意義呢？其實有意義一般分為幾種題型，我們來一一分析：

分母不為零

我們在小學學習過程中學習了，除數不能為０，這是因為不符合除法的基本定義，整數除法時，用分物品來理解，當有一定數量的物品平均分給０個人，這事本身沒有價值，沒有計算的價值，所以除法中除數不為０就這麼來的。與些相關的分式有意義，那就是分母不為０。

０次冪，底數不為０

與些相對應的乘方運算裡的零次冪，數學上為了研究的方便，規定任何非零常數的零次方結果為１，另外零的是零次方沒有意義，很多的同學並不理解為什麼，其實透過一些簡單運算就可以說明一切。

開偶次方的被開方數為非負數

我們接觸最多的就是初中階段的二次根式了，其實被開偶次方數為非負數是有原因的。在實數運算範圍內，任何一個數的平方一定為非負數，也就是說非負數才能找到算術平方根。

數學研究的範圍限制

在高中階段就體現得非常明顯，例如指數函式和對數函式的研究，有非常嚴格的定義。例如我們只研究底數為正，且不等於１的指數函式和對數函式。在一些題目中也要注意這個規定。

題主這個“有意義”的問題本身就很有有意義！它讓我一下回想起，在數學學習中第一次接觸到“有意義”（“無意義”）這個詞是在什麼時候？小學學習除法的時候。學習除法的時候，老師說0不能作除數，0作除數沒有意義，不要問為什麼？這是烏龜的屁股。我很奇怪，不是老虎的屁股碰不得嗎，老師怎麼說烏龜的屁股？多少年以後，才明白烏龜的屁股是什麼意思後，不禁哈哈大笑（歇後語龜腚，諧音規定）。

多年前老師的幽默，話糙理不糙。只要是規定，那就是“高壓線”，觸碰不得。數學中，只要是規定，就是為了使數學概念有意義，就是為了使數學表示式成立，就是為了使所求出的量值有符合實際。

因而，一般在數學題目中所說的有意義就是指求成立的條件。

一。有意義的型別和相關知識點

初中階段數學題目涉及的有意義（成立條件）的主要型別和相關知識點：

第一種型別，限制條件：非負

知識點：絕對值，平方，二次根式的被開方數，二次根式的值，一元二次方程的有解時判別式的值，直線與拋物線相交時判別式的值。

第二種型別，限制條件：非0

知識點：除數，分式的分母，零指數的底數，一元二次方程中二次項的係數，一次函式y=kx+b中k值，反比例函式y=k/x中k值，x值，二次函式y=ax^2+bx+c中a值。

第三種類型，實際問題中相關量值，要符合實際含義。

知識點：實際問題中，列方程（不等式）求解，解的取捨。

二。相關題型舉例

求下列各式中x的取值範圍。

y=1/（1-x），y=√（1-x），y=1/√（1-x），y=1/（1-x^2）,y=1/（1+x^2）

挖掘隱含條件，求解。

已知|x-1|+√（4-y）+（z-2）^2=0，求x+y+z的值。

已知關於x的函式y=（m^2-1）x^2+(m-2)x+3，若其圖象是拋物線，求m的範圍；若其圖象是直線，求m的值。

實際問題中，方程（不等式）解的取捨。

已知直角三角形的斜邊為3 m，另外兩邊相差1 m，求另外兩邊長。

解設最短的直角邊為x m，則較長的直角邊為（x+1）m，

根據勾股定理得，x^2+（x+1）^2=3^2,

化簡得，x^2+x^2-8=0，

解得，x1=（-1-√17）/2,x2=（-1+√17）/2,

因為x>0，x1=（-1-√17）/2<0，捨去，x2=（-1+√17）/2>0,

所以x=（-1+√17）/2，x+1=（1+√17）/2，

答：直角三角形的兩條直角邊分別為（-1+√17）/2 m，（1+√17）/2 m。

結語：

需要說明的是，這些相關知識點中限制條件，有些是建立概念時作出的規定，有些是根據概念的性質推到出來的（隱含條件）。

比如，為什麼同樣的規定：0不能作除數，分式的分母不為0，這些規定的合理性何在，它們有什麼關聯？二次根式的被開方數非負，二次根式的值非負是怎麼來的，它們有什麼關聯？

在建立相關概念時，必須弄清楚這些限制條件的來龍去脈，深刻理解這些限制條件的合理性。如果不理解，不總結，靠死背，解題只會生搬硬套，結果就會漏洞百出。因此，必須重視數學概念的學習，並在做題中不斷加深對概念的理解。

數學上的有意義，是指這個結論某一公理系的公理，或是由該公理系的公理可以推論出的規則。

以小學數學零不能做除數為例。小學數學其實就是皮亞諾公理系。這個公理系中有兩個基本的自然數0和1，其它的自然數都可以用加法運算規則計算出來。皮亞諾公理系中，是這樣定義乘法的，0*n=0；m*n"=m*n+m;其中，n"是n的後繼數就是n+1;除法定義比較複雜就不在這裡囉嗦了。只要知道皮亞諾公理系在定義除法的時候，規定了除數不為零。這樣的定義保證了皮亞諾公理系中沒有矛盾，這個結論經過了專業的證明，這個證明非常複雜也不囉嗦了。通俗地用個例子，由0*n=0可以知道n可以是任意自然數，那麼0/0便產生了不確定的結果。因此，皮亞諾公理系中規定0不能做除數。0做除數的時候，被稱為無意義。

有人說，在高等數學中1/0是無窮大，因此，高等數學中0做除數是有意義的。事實上，高等數學中也不允許0做除數，上面那個0是無窮小的符號。0，它不是零。

簡單地說，有意義和無意義都可以看成是規定，不需要理由。