學渣來答一波。

平面上一次導數指的是斜率，二次導數指的是凹凸性。這個用物理的位移X速度V加速度A理解：位移X對時間T的一次導數是速度V，一次導數大於0即速度V大於0，位移X對時間T的影象是直線斜向上的。位移X對時間T的二次導數是加速度A，二次導數大於0即加速度A大於0，位移X對時間T的影象是曲線凹上去的。

二元連續函式是空間上的曲面圖形，δZ/δX表示固定Y(二元函式的影象沿y=y0切割留下一條與xoz平行平面中的曲線)，再在這條曲線上研究Z對X的斜率。也就是在一個與xoz平行的平面上研究曲面上某一曲線的斜率。對δZδX再求一次X的偏導就是求該曲線的凹凸性。這是對其中一個變數的二次求導的意義。意義就在於切割出的曲線是凹是凸。

書上的解釋和圖。

二元連續函式的混合偏導(δ^2Z/δXδY為例)分兩步。

1丶δZ/δX就是曲線的斜率(上面已講過)。將δZ/δX標記為①

2丶對①求Y的偏導。

先想象有一個圓錐，將圓錐的底面放在空間中的xoz面中，過圓錐上一點(非頂點)做與Y軸垂直的切面，切面與圓錐的交線的斜率表示δZ/δX的。將交線設為①，對①上一點求Y的偏導，就是考慮①的影象在Y軸方向的變化率(固定X=x0)。因為設的是圓錐所以對Y的斜率是常數。其他的圖形可以想象一個右半邊碗，平放在地面上就是一個凹上去的曲面，δZ/δX(曲線標記為①)是其中一條凹上去的線在某一點的斜率，對①求Y的偏導就是該曲線上某一點在Y方向上的變化率。沿X=x0上也是一條凹上去的線。就是沿X=x0觀察①的變化率。

對碗來說，①上所有點對Y的偏導的集合就是研究①的圖形在曲面上沿Y方向怎麼移動，因為是碗，所以對曲線①求Y方向上的偏導也是凹上去的。

所以二元函式對同一個點的兩個混合偏導相等。δ^2Z/δXδY是先沿Y=y0做個切向量，再沿X=x0做個切向量。δ^2Z/δYδX是先沿X=x0做切向量，再沿Y=y0做切向量。兩者的合向量是一樣的。