1.這個題目的表述不當。你話紅線那句話表達的不叫“趨於0的速度”，尓叫做冪零的階數。2.實際上不存在你題目中描述的那種冪零矩陣。即若A是n*n的方陣，每個元素均>0, 則A不冪零。這個是顯然的。 因為trA>0.我們還能進一步放寬條件， 如果若A是n*n的方陣，每個元素均>＝0, 其每行的和>0，則A不冪零。記r>0是A的各行和的最小值。 注意到 A 保持第一象限R_＋^n＝［0，＋無窮)^n.定義R_+^n上偏序 v>＝w, 若 v-w屬於R_+^n。 那麼則 A保持這個偏序。考慮R^n上l^1範數， 我們有 對任何v,w 屬於R_+^n， 若v>=w則|v|>=|w|.記e=為每個分量都是1的向量。 則Ae>= re. 所以對任何n， A^ne>r^ne>0。 所以非0. 所以A不冪零。最後，我想說即使在極限意義下，你的條件也不能推出A比B跑到0快。其實用布勞爾不動點定理， 可以知道這樣的矩陣一定有一個特徵向量在第一象限。 我們可以構造兩個2階矩陣 A，B。 使得A的每行的和都<B的。 但是A,B有1個公共特徵向量在第一象限，但A的特徵值>B的。 構造非常簡單， A的第一列示(1/2,1/4)", 第二列0. B的第一列0，第二列(2/3,1/3). 注意到他們有相同特徵向量v=（1，1/2).
1.這個題目的表述不當。你話紅線那句話表達的不叫“趨於0的速度”，尓叫做冪零的階數。2.實際上不存在你題目中描述的那種冪零矩陣。即若A是n*n的方陣，每個元素均>0, 則A不冪零。這個是顯然的。 因為trA>0.我們還能進一步放寬條件， 如果若A是n*n的方陣，每個元素均>＝0, 其每行的和>0，則A不冪零。記r>0是A的各行和的最小值。 注意到 A 保持第一象限R_＋^n＝［0，＋無窮)^n.定義R_+^n上偏序 v>＝w, 若 v-w屬於R_+^n。 那麼則 A保持這個偏序。考慮R^n上l^1範數， 我們有 對任何v,w 屬於R_+^n， 若v>=w則|v|>=|w|.記e=為每個分量都是1的向量。 則Ae>= re. 所以對任何n， A^ne>r^ne>0。 所以非0. 所以A不冪零。最後，我想說即使在極限意義下，你的條件也不能推出A比B跑到0快。其實用布勞爾不動點定理， 可以知道這樣的矩陣一定有一個特徵向量在第一象限。 我們可以構造兩個2階矩陣 A，B。 使得A的每行的和都<B的。 但是A,B有1個公共特徵向量在第一象限，但A的特徵值>B的。 構造非常簡單， A的第一列示(1/2,1/4)", 第二列0. B的第一列0，第二列(2/3,1/3). 注意到他們有相同特徵向量v=（1，1/2).