負數是構建數域完備性必不可少的組成部分，它不是所謂的方法論那麼簡單，而是世界觀！下面的兩個簡單例子就能說明如果沒有負數，數學體系是不完整的。

我們知道對於任意自然數A、B、C當它們滿足A+B=C時，便可以在確定其中兩個數的具體數值以後就能確定第三個數的數值。但是這裡要注意，當我們確定AC的數值企圖確定B的數值時候，我們需要定義一種新的運算規則：減法。下面，好戲開始了。現在我們挑選A=1，B=0，那麼我們可以透過加法運算來構建整個自然數集。但是，我們要問，既然能由兩個數字以及它們的加法運算便可以構建全部的自然數，那麼能不能由另外兩個數字以及它們的減法運算來構建全部的自然數呢？很明顯，這在自然數集合裡是不能實現的！那麼我們就要問，為什麼減法要“例外”於加法？數學作為一種邏輯語言，它要做到的就是自圓其說，如果我們不能解釋減法的特殊性，就得想方設法消除它的特殊性！這也就是我說的“數學世界觀”。為了消除減法的特殊性，數學家想到了“負數”，如果考慮C=0，B=-1，那麼C和B減法運算就能獲得一個正整數1，進而構建整個自然數集合。

這個例子其實涉及到進世代數里面最重要的一種數學概念：群！加法和全體整數構成整數群，而如果沒有負數，那麼就不能構建整數群！

下面這個例子要從另一個角度來解釋負數的重要性。考慮乘法運算，我們知道正整數和正分數之間可以透過乘法以及其逆運算“除法”可以相互轉化，比如說2和1/4，2等於8×1/4。現在我們要使用數學裡面的一個重要抽象運算：對映。定義對映f，使得在f的對映下可以讓乘法對映為加法，即原來的2=8×1/4，在f對映下為f(2)=f(8)+f(1/4)。現在我們進一步使用符號語言來描述這一對映，如果X·Y=Z，那麼f(X)+f(Y)=f(Z)。取X=Y=Z=1，那麼有f(1)=0。現在令Z=1，很明顯，X·Y=1在正數集合下是有意義的，但是f(X)+f(Y)=0卻不能在正數集合下成立。而我在這裡定義的對映，事實上可以進一步將它明確為一個極為重要的函式：對數函式！在對數函式意義下，如果我們不定義負數的話，那麼一切小於1的正分數都沒有一個好的數作為它們的對映結果，換句話說，負數的引入是為了保證一些對映就有完備性。這並不是方法論所要求的，而是數學完備性的要求的！

最後，我要從相物理的角度來解釋引入負數的必要性。在物理裡最重要的是定義物理量，一些物理量很任性，它們在一般情況下只能表現為正數，比如說熱力學的絕對溫度，比如說物體的慣性質量和引力質量，比如說速率（即速度大小，數值上恆正）等。但是還有一些物理量則是非得有正有負，比如說電荷和磁極。這兩個物理量要用數學描述，就必須要用到負數！規定某一類電荷為正電荷，就不得不打與之性質相反的另一類電荷定義為負電荷。磁極類似，我們說磁鐵存在兩級，南極和北極，但是如果用磁荷觀點來看，一個是正磁荷另一個就得是負磁荷！由此可見，數學定義的負數是客觀實際的需要，當然從這個角度看，引入負數就純屬於方法論了！

舉個例子，溫度的正1度和負1度，要理解負1度，就要先確定0度的定義，否則我們就根本不可能弄明白負數的含義。問題來了，如果0度是絕對零度，那負1度的含義是什麼，從量上又如何理解和正數相同的1？根據某種與生俱來的信仰，我們認為有正數和0，就必然存在對偶的負數，那麼絕對零度對應的負1度則必然存在，同理負質量、負能量、負速度等等也就必然存在，只是我們現在不知道它們的真實含義罷了。

數學的每一次重大進步都伴隨著數域的擴充,第一次數學危機,根號2的發現使整個數域從有理數範圍擴充到實數範圍;在解方程時,發現負數無法開平方,於是發明了虛數單位i來代表負數開方的結果,剛開始發現並沒有用,但是後面科技發展到一定階段,發現在各個學科都有重要作用.後面數學家哈密爾頓提出"四元數"的概念等等,由於科學技術發展的需要,向量、張量、矩陣、群、環、域等概念的不斷產生.把數學研究推向新的高峰.

我們回到負數的引入背景:源於生活,相反意義的量

在古人實踐活動中遇到了一些問題:如兩個人相互借用東西,對借出方和借入方來說,同一東西具有不同的意義;再如從同一地點,兩個人同時向相反的方向行走,離開出發點的距離即使相同,但其表示的意義卻不相同.久而久之,古人意識到僅用數量表示一個事物是不全面的.似乎還應加上表示方向的符號,因此為了表示具有相反意義的量和解決被減數小於減數等問題,逐漸產生了負數.

負數在數學計算方面、力學、天文學獲得廣泛發展,可以使計算得到簡便,但並沒有迅速得到學術界的承認,直到笛卡爾發明瞭解析幾何學,建立了座標點,將平面點與負數、0、正數對應,使負數得到了解釋,加速了負數的承認.

在數字加減運算中,3-1=2非常容易理解,但是1-3等於多少呢?這是一個很大的問題,因為如果沒有負數的引入,則無法計算,則整個數字運算體系不完備.而"群"的定義(此處自行學習)很好的解決了數字運算體系不完備的缺點.根據群論,全體整數的加法構成一個群.其中有一條非常關鍵,任何一個整數a,一定存在另一個整數,使a+b=0,b被稱為a的逆元,用-a表示.這樣就順利的將負數引入到數學運算體系中,也使之符合基本的邏輯體系.